VII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br />
(1) \qquad \begin{array}{c}<br />
(x^3+y^3)(x^2+y^2)=2a^5\\<br />
x+y=a<br />
\end{array}<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ $ x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2) $, więc uwzględniając drugie równanie układu (1) możemy pierwsze równanie tego układu zastąpić równaniem

\[<br />
(\alpha) \qquad      a (z2 - xy + y2) y2) = 2a*.<br />
\]

1) Gdy $ a = 0 $, równanie ($ \alpha $) jest spełnione tożsamościowo; dany układ równań (1) redukuje się do drugiego równania; rozwiązaniem układu jest każda para $ (t, - t) $, gdzie $ t $ jest dowolną liczbą.

2) Gdy $ a \neq  0 $, równanie ($ \alpha $) można podzielić obustronnie przez $ a $ i zastąpić układ równań (1) układem równoważnym

\[<br />
(2) \qquad \begin{array}{c}<br />
(x^2 -xy +y^2)(x^2+y^2)=2a^4\\<br />
x+y=a<br />
\end{array}<br />
\]

Wobec tego, ze równania układu (2) są jednorodne względem $ x $, $ y $ i $ a $, możemy układ ten uprościć wprowadzając zamiast $ x $ i $ y $, jako nowe niewiadome, stosunki $ u = \frac{x}{a} $, $ v = \frac{x}{a} $ Otrzymujemy układ równań

\[<br />
(2) \qquad \begin{array}{c}<br />
(x^2 -xy +y^2)(x^2+y^2)=2\\<br />
x+y=1<br />
\end{array}<br />
\]

Układ (3) można rozwiązać różnymi sposobami.

Niech $ u - v = z $; ponieważ $ u + v = 1 $, więc $ u = \frac{1+z}{2} $ $ v = \frac{1-z}{2} $. Podstawiając te wartości do pierwszego równania układu (3) otrzymujemy równanie

\[<br />
\left[\left(\frac{1+z}{2}\right)^2 - \frac{(1-z)(1+z)}{4} +\left(\frac{1+z}{2}\right)^2 \right]\left[\left(\frac{1+z}{2}\right)^2 +\left(\frac{1+z}{2}\right)^2 \right]=2<br />
\]

które po wykonaniu działań przybiera postać

\[<br />
3z^2+  4z^2 - 15 = 0.<br />
\]

Pierwiastkami tego równania dwukwadratowego są liczby

\[<br />
i \sqrt{3}, \quad -i \sqrt{3}, \quad<br />
\sqrt{\frac{5}{3}}, -\sqrt{\frac{5}{3}}.<br />
\]

Podstawiając te wartości z do związków $ u = \frac{1+z}{2} $ $ v = \frac{1-z}{2} $ otrzymujemy $ 4 $ rozwiązania układu (3).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź