VII OM - I - Zadanie 3

W kwadracie $ ABCD $ o polu $ S $ połączono wierzchołek $ A $ ze środkiem boku $ BG $, wierzchołek $ B $ ze środkiem boku $ CD $, wierzchołek $ C $ ze środkiem boku $ DA $ i wierzchołek $ D $ ze środkiem boku $ AB $. Obliczyć pole tej części kwadratu, w której leży jego środek.

Rozwiązanie

Rozwiązanie zadania uwidocznione jest na rys. 1, na którym $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ oznaczają środki boków, a $ O $ środek kwadratu; przez wierzchołki $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ poprowadzono proste równoległe odpowiednio do prostych $ DQ $, $ AM $, $ BN $, $ CP $. Jeżeli figurę obrócimy o $ 90^\circ $ dokoła punktu $ O $, punkt. $ A $ upadnie na punkt $ B $, punkt $ Q $ na punkt $ M $ itd., a figura nałoży się na siebie. Stąd łatwy wniosek, że na figurze mamy siatkę złożoną z 9 równych kwadratów. Według twierdzenia Pitagorasa pole kwadratu $ ABCD $ równa się sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych $ AK $ i $ BK $ trójkąta prostokątnego $ AKB $. Oznaczając pole szukane literą $ x $ mamy zatem

\[<br />
4x + x = S,\textrm{ skąd } x =\frac{1}{5} S.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź