VII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że środki odcinków łączących środek okręgu wpisanego w trójkąt ze środkami okręgów dopisanych leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie.

Rozwiązanie

Niech $ O $ oznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt $ ABC $ (rys. 2), $ O_1 $ - środek okręgu dopisanego stycznego do boku $ AB $, a $ S $ - środek odcinka $ OO_1 $.

Punkty $ O $, $ O_1 $ i $ S $ leżą na dwusiecznej kąta $ C $.

Aby dowieść, że punkt $ S $ leży na okręgu przechodzącym przez punkty $ A $, $ B $, $ C $, wystarczy wykazać, że $ \measuredangle ASC = \measuredangle ABC $. W tym celu weźmy pod uwagę trójkąt $ OAO_1 $. Półprosta $ AO $ jest dwusieczną kąta $ A $ trójkąta $ ABC $, a półprosta $ AO_1 $ - dwusieczną kąta przyległego, zatem $ AO_1 \bot  AO $ i punkt $ S $ jako środek przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego $ OAO_1 $ jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, wobec czego $ SA = SO $ i $ \measuredangle  SAO = \measuredangle  SOA $. Obliczamy

\[<br />
\begin{split}<br />
\measuredangle  ASC &= 180^\circ - (\measuredangle  SAO + \measuredangle  SOA) = 180^\circ - 2 \cdot \measuredangle  SOA  =\\<br />
&= 180^\circ - 2 (\measuredangle   OAC + \measuredangle  OCA) = 180^\circ - \measuredangle  BAC - \measuredangle BCA =  \measuredangle  ABC, \textrm{ c. n. d.}<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź