VII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ p_1 $, $ p_2 $, $ q_1 $, $ q_2 $ spełniają równość

\[<br />
(1) \qquad p_1p_2 = 2(q_1 + q_2),<br />
\]

to co najmniej jedno z równań

\[<br />
(2) \qquad   x^2 + p_1x + q_1 = 0,  \quad  x^2 + p_2x + q_2 = 0<br />
\]

ma pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Oznaczając literami $ \Delta_1 $ i $ \Delta_2 $ wyróżniki równań (2) mamy $ \Delta_1 = p_1^2 -4q_1 $ $ \Delta_2 = p_2^2 - 4q_2 $, skąd $ q_1 = \frac{1}{4} (p_1^2 - \Delta_1) $, $ q_2 = \frac{1}{4} (p_2^2 - \Delta_2) $. Podstawiamy te wartości do równości (1), otrzymujemy równość

\[<br />
p_1p_2 = \frac{1}{2} (p_1^2 - \Delta_1 + p_2^2 - \Delta_2),<br />
\]

a stąd

\[<br />
\Delta_1 + \Delta_2 = p_1^2 - 2p_1p_2 + p_2^2= (p_1 - p_2)^2.<br />
\]

Okazało się, że suma $ \Delta_1+ \Delta_2 $ jest liczbą nieujemną, zatem co najmniej jeden z wyróżników $ \Delta_1 $, $ \Delta_2 $ jest nieujemny, więc co najmniej jedno z równań (2) ma pierwiastki rzeczywiste.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź