VII OM - I - Zadanie 6

Rozwiązać równanie

\[<br />
(1) \qquad x = a + \sqrt{a+\sqrt{x}}.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że pewna liczba $ x $ spełnia równanie (1); wówczas $ x \geq 0 $ i $  a + \sqrt{x} \geq 0 $. Niech $ a + \sqrt{x}=y $, zatem $ a = y - \sqrt{x} $; podstawienie tej wartości do równania (1) daje równanie $ x = y  - \sqrt{x} + \sqrt{x} $ Przekształcając to równanie, otrzymujemy kolejno

\[<br />
x - y + \sqrt{x} - \sqrt{y} = 0<br />
\]
\[<br />
(\sqrt{x} + \sqrt{y}) (\sqrt{x} - \sqrt{y}) + \sqrt{x} - \sqrt{y} = 0<br />
\]
\[<br />
 (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} +1) = 0.<br />
\]

Ponieważ drugi czynnik lewej strony powyższego równania jest dodatni, więc $ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 0 $, skąd $ x = y $, czyli

\[<br />
(2) \qquad x = a + \sqrt{x}.<br />
\]

Okazało się, że jeżeli $ x $ spełnia równanie (1), to spełnia też równanie (2). Odwrotnie, jeśli $ x $ spełnia równanie (2), to

\[<br />
a + \sqrt{a+\sqrt{x}}  = a + \sqrt{x}=x,<br />
\]

zatem $ x $ spełnia też równanie (1). Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania (2), które możemy napisać w postaci

\[<br />
(\sqrt{x})^2-\sqrt{x}-a=0<br />
\]

Oznaczając $ \sqrt{x} = z $ otrzymujemy równanie kwadratowe

\[<br />
(3) \qquad z^2 - z - a = 0<br />
\]

i należy wyznaczyć nieujemne pierwiastki tego równania.

Równanie (3) ma pierwiastki (rzeczywiste), jeżeli wyróżnik $ 1 + 4a \geq 0 $, tj. gdy $ a \geq \frac{1}{4} $ i Zakładając, że ten warunek jest spełniony, mamy pierwiastki

\[<br />
z_1=\frac{1}{2}\left(1+ \sqrt{1+4a} \right),<br />
\]

Pierwiastek $ z_1 $ jest dodatni, pierwiastek $ z_2 $ jest dodatni dla a < 0, (przy czym gdy $ a = - \frac{1}{4} $, wtedy $ z_1 = z_1 = \frac{1}{2} $), równy zeru dla a = 0, ujemny dla a > 0. Uzyskujemy zatem wynik następujący:

a) Gdy $ a < -\frac{1}{4} $, równanie (1) nie ma pierwiastków;

b) gdy $ a = - \frac{1}{4} $, równanie (1) ma jeden pierwiastek $ x = \frac{1}{4} $ ;

c) gdy $ - \frac{1}{4} < a \leq 0 $, równanie (1) ma dwa pierwiastki
$ x = \frac{1}{4}\left(1+\sqrt{1+4a}\right)^2 $ i $ x = \frac{1}{4}\left(1-\sqrt{1+4a}\right)^2 $

d) gdy $ a > 0 $, równanie (1) ma jeden pierwiastek

\[<br />
x = \frac{1}{4} \left( 1 + \sqrt{1 + 4a} \right)^2.<br />
\]

Uwaga. Równoważność (w zakresie liczb rzeczywistych) równań (1) i (2) można udowodnić bezpośrednio w sposób następujący. Zauważmy, że $ \sqrt{x} $ jest dla $ x \geq 0 $ funkcją rosnącą i że liczba $ x_0 $ może być tylko wtedy pierwiastkiem któregoś z równań (1) lub (2), gdy $ x_0 \geq 0 $ i $ a + \sqrt{x_0} \geq 0 $. Przypuśćmy, że liczba $ x_0 $ czyni zadość tym nierównościom. Możliwe są wówczas 3 przypadki:

a) $ a + \sqrt{x_0} = x_0 $, wówczas $ a + \sqrt{a + \sqrt{x_0}} = a + \sqrt{x_0} = x_0 $,

b) $ a + \sqrt{x_0} > x_0 $, wówczas $ a + \sqrt{a + \sqrt{x_0}} > a + \sqrt{x_0} > x_0 $,

c) $ a + \sqrt{x_0} < x_0 $, wówczas $ a + \sqrt{a + \sqrt{x_0}} < a + \sqrt{x_0} < x_0 $.

Widzimy więc, że liczba $ x_0 $ spełnia równanie (1) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia równanie (2), tzn. te równania są równoważne. W podobny sposób można wykazać, że każde z równań

\[<br />
x = a + \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{x}}},\<br />
x = a + \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{x}}}},\<br />
\ldots,\textrm{ itd.}<br />
\]

jest równoważne równaniu $ x = a + \sqrt{x} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź