VII OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni leży prostokąt $ ABCD $ oraz punkt $ M $. Obliczyć odległość $ MD $ mając dane odległości $ MA $, $ MB $, $ MC $.

Rozwiązanie

Oprzemy się na twierdzeniu pomocniczym:

Jeżeli $ O $ jest środkiem odcinka $ AB $, a $ M $ - dowolnym punktem, to

\[<br />
(3) \qquad MA^2 + MB^2 = 2AO^2 + 2MO^2.<br />
\]

Równość powyższą możemy uzasadnić w następujący sposób. Jeżeli punkt $ M $ nie leży na prostej $ AB $, to z trójkątów $ AOM $ i $ BOM $ (rys. 5) mamy

\[<br />
(4) \qquad<br />
\begin{array}{l}<br />
MA^2 = AO^2 + MO^2 - 2 \cdot AO \cdot MO \cdot \cos \measuredangle AOM,\\ MB^2 = BO^2 + MO^2 - 2 \cdot BO \cdot MO \cdot \cos \measuredangle BOM.<br />
\end{array}<br />
\]

Dodając równości (4) stronami i uwzględniając, że $ BO =AO $, a $ \measuredangle BOM = 180^\circ - \measuredangle AOM $, otrzymujemy równość (3).

Jeżeli punkt $ M $ leży na prostej $ AB $, ale jest różny od punktu $ O $, to równości (4) są też słuszne; jeden z kątów $ AOM $ i $ BOM $ równa się wówczas $ 0^\circ $, a drugi $ 180^\circ $. Jeśli wreszcie punkt $ M $ pokrywa się z punktem $ O $, to równość (3) jest oczywista, gdyż wtedy $ MA = MB = AO $, a $ MO = 0 $.

Niech $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ będą wierzchołkami prostokąta o środku $ O $, a $ M $ - dowolnym punktem przestrzeni. Stosując powyższe twierdzenie pomocnicze i biorąc pod uwagę, że przekątne prostokąta są równe, otrzymujemy równość

\[<br />
MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2,<br />
\]

zatem

\[<br />
MD^2 = MA^2 +'MC^2 - MB^2.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź