VII OM - I - Zadanie 9

Dowieść, ze z odcinków o długościach $ a $, $ b $, $ c $ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
(1) \qquad a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 > \frac{1}{2} (a^4 + b^4 + c^4).<br />
\]

Rozwiązanie

Z odcinków o długościach $ a $, $ b $, $ c $ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
(2) \qquad<br />
a + b - c > 0,\<br />
b + c - a > 0,\<br />
c + a - b > 0.<br />
\]

Należy wykazać, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają nierówność (1) i są (jako miary odcinków) dodatnie, to spełniają też nierówności (2) i na odwrót. W tym celu przekształcamy nierówność (1). Pisząc tę nierówność w postaci

\[<br />
nr{3} a^4 - 2(b^2 + c^2) a^2 + (b^2 - c^2)^2 < 0<br />
\]

mamy po lewej stronie trójmian kwadratowy względem $ a^2 $; pierwiastki tego trójmianu otrzymujemy według wzoru

\[<br />
a^2 = (b^2 + c^2) \pm \sqrt{(b^2 + c^2)^2 - (b^2 - c^2)^2} = (b^2 + c^2) \pm 2bc = (b \pm c)^2.<br />
\]

Wobec tego nierówności (3) możemy nadać postać

\[<br />
[a^2 - (b + c)^2] [a^2 - (b - c)^2] < 0<br />
\]

lub

\[<br />
(a + b + c) (a - b - c) (a + b - c) (a - b + c) < 0.<br />
\]

Zmieniając znak drugiego czynnika po lewej stronie otrzymujemy ostatecznie nierówność

\[<br />
(4) \qquad (a + b + c) (b + c - a) (a + b - c) (a + c - b) > 0.<br />
\]

Jeśli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają nierówność (1), a więc też nierówność (4) i są dodatnie, to $ a + b + c > 0 $, więc albo pozostałe $ 3 $ czynniki po lewej stronie (4) są dodatnie, tj. zachodzą nierówności (2), albo jeden z tych czynników jest dodatni, a dwa pozostałe ujemne. Ta ostatnia ewentualność zachodzić jednak nie może, gdyby bowiem było np. $ b + c - a<0 $, $ a + b - c < 0 $, wtedy dodając te nierówności stronami otrzymalibyśmy $ 2b < 0 $, a stąd $ b < 0 $ - wbrew założeniu.

A zatem z nierówności (1) i z warunku $ a > 0 $, $ b > 0 $, $ c > 0 $ wynikają nierówności (2).

Odwrotnie, jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają nierówności (2), to spełniają też nierówność (1) i są dodatnie. Istotnie, dodając np. dwie pierwsze nierówności (2) stronami, otrzymujemy $ 2b > 0 $, czyli $ b > 0 $ i tak samo $ a > 0 $, $ c > 0 $, wobec czego $ a + b + c > 0 $. Wszystkie czynniki po lewej stronie nierówności (4) są wówczas dodatnie, i nierówność (4) jest spełniona, zatem spełniona jest również nierówność (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź