VII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli $ \alpha > 0 $, $ \beta > 0 $, $ \gamma > 0 $ i $ \alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} \pi $, to

\[<br />
(1) \qquad<br />
\tg \alpha \cdot \tg \beta +<br />
\tg \beta \cdot \tg \gamma +<br />
\tg \gamma \cdot \tg \alpha = 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Z założenia wynika, że $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ oraz $ \alpha + \beta = \frac{1}{2} \pi - \gamma $ są kątami ostrymi. Wobec tego

\[<br />
\tg (\alpha + \beta) = \ctg \gamma =<br />
\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg  \beta};<br />
\]

stąd

\[<br />
\tg \alpha + \tg \beta = \ctg \gamma (1 - \tg \alpha \tg \beta)<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
\tg \alpha \tg \beta + \tg \beta \tg \gamma + \tg \gamma \tg \alpha = 1.<br />
\]

Uwaga. Twierdzenie można uogólnić. Aby wzór (1) był prawdziwy, wystarczy założyć, że każdy z kątów $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ ma określony tangens, tzn. że żaden z tych kątów nie ma postaci $<br />
frac{1}{2}\pi + m\pi $, gdzie $ m $ oznacza liczbę całkowitą, oraz że $ \alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2} \pi + k\pi $ ($ k $ - liczba całkowita). Dla dowodu rozróżnimy dwa przypadki:

1° Któryś z kątów $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ jest całkowitą wielokrotnością $ \pi $, np. $ \gamma = n\pi $. Wzór (1), który trzeba udowodnić, ma wówczas postać $ \tg \alpha \tg \beta = 1 $. Według założenia

\[<br />
\alpha + \beta = \frac{1}{2}\pi + k\pi - n\pi;<br />
\]

stąd

\[<br />
\alpha = \frac{1}{2}\pi - \beta+ (k - n)\pi,<br />
\]

zatem

\[<br />
\tg \alpha = \ctg \beta.<br />
\]

Ponieważ według założenia $ \beta $ nie ma postaci $ \frac{1}{2}\pi + m\pi $, więc $ \ctg \beta \ne 0 $ i równość powyższa daje

\[<br />
\tg \alpha \cdot \tg \beta = 1.<br />
\]

2° Żaden z kątów $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ nie jest całkowitą wielokrotnością $ \pi $. Wówczas

\[<br />
\alpha + \beta = \left( \frac{1}{2}\pi - \gamma \right) + k\pi,<br />
\]

przy czym kąt $ \frac{1}{2} \pi - \gamma $ nie ma postaci $ \frac{1}{2}\pi + m\pi $, więc istnieje $ \tg (\frac{1}{2}\pi - \gamma) = \ctg \gamma $ i z równości powyższej otrzymujemy

\[<br />
\tg (\alpha + \beta) = \ctg \gamma,<br />
\]

a stąd, jak wyżej, wzór (1).

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne:

Jeżeli zachodzi równość (1), to $ \alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2}\pi + k\pi $ ($ k $ - liczba calkcuita).

Udowodnimy to twierdzenie rozróżniając również dwa przypadki:

$ \tg \gamma = 0 $, więc $ \gamma = m\pi $ ($ m $ - liczba całkowita). Równość (1) ma wówczas postać

\[<br />
\tg \alpha \cdot \tg \beta = 1;<br />
\]

stąd

\[<br />
\tg \alpha = \ctg \beta,<br />
\]

więc

\[<br />
\alpha = \frac{1}{2}\pi - \beta + n \pi,<br />
\]
\[<br />
\alpha + \beta = \frac{1}{2}\pi + n\pi<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2}\pi + n\pi + m\pi = \frac{1}{2}\pi + k\pi,<br />
\]

gdzie $ k = m + n $.

$ \tg\gamma \ne 0 $. Z równości (1) mamy

\[<br />
(2) \qquad \tg \gamma (\tg \alpha + \tg \beta) = 1 - \tg \alpha \tg \beta.<br />
\]

Otóż $ 1 - \tg \alpha \tg \beta \ne 0 $, gdyż z równości $ 1 - \tg \alpha \tg  \beta = 0 $ i z równości (2) wynikałaby równość $ \tg \alpha + \tg \beta = 0 $, stąd zaś równość $ \tg \alpha \tg \beta + \tg^2 \beta = 0 $ i wreszcie równość $ 1 + \tg^2 \beta = 0 $, która jest niemożliwa. Możemy więc obie strony równości (2) podzielić przez $ 1 - \tg \alpha \tg \beta $; otrzymujemy

\[<br />
\tg \gamma \cdot \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} = 1;<br />
\]

stąd

\[<br />
\tg  (\alpha + \beta) = \ctg \gamma<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
\alpha + \beta = \frac{1}{2} \pi - \gamma + k\pi, \textrm{ c. n. d.}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź