VII OM - I - Zadanie 11

W trójkącie o bokach $ a $, $ b $, $ c $ poprowadzono odcinki $ m $, $ n $, $ p $ styczne do koła wpisanego w trójkąt, mające końce na bokach trójkąta i równoległe odpowiednio do boków $ a $, $ b $, $ c $. Wykazać, że

\[<br />
\frac{m}{a} + \frac{n}{b} + \frac{p}{c} = 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ 2s $ oznacza obwód trójkąta, $ P $ - jego pole, $ r $ - promień koła wpisanego (rys. 11).

Trójkąt odcięty od danego trójkąta przez odcinek $ m $, jest podobny do danego trójkąta, a jego wysokość względem boku $ m $ jest równa $ h_a - 2r $, gdzie $ h_a $ oznacza wysokość danego trójkąta względem boku $ a $. Wobec podobieństwa trójkątów mamy

\[<br />
\frac{m}{a} = \frac{h_a-2r}{h_a} = 1 - \frac{2r}{h_a} = 1 - \frac{2ra}{h_aa}  = 1 - \frac{2ra}{2P},<br />
\]

a ponieważ, jak wiadomo, $ P = r \cdot s $, więc

\[<br />
\frac{m}{a} = 1 - \frac{a}{s}.<br />
\]

Analogicznie

\[<br />
\frac{n}{b} = 1 - \frac{b}{s},\<br />
\frac{p}{c} = 1 - \frac{c}{s}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\frac{m}{a} + \frac{n}{b} + \frac{p}{c} =<br />
3 - \frac{a+b+c}{s} = 1.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź