VII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że: a) suma odległości dowolnego punktu $ M $ trójkąta równobocznego od trzech boków trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od położenia punktu $ M $ w trójkącie; b) suma odległości dowolnego punktu czworościanu foremnego od czterech ścian czworościanu jest stała.

Rozwiązanie

\spos{1}

1°. Obierzmy punkt $ M $ wewnątrz trójkąta równobocznego $ ABC $ (rys. 12). Niech $ a $ oznacza długość boku tego trójkąta, $ h $ - jego wysokość, $ x $, $ y $, $ z $ odległości punktu $ M $ odpowiednio od boków $ BC $, $ CA $, $ AB $. Ponieważ

\[<br />
(1) \qquad \textrm{pole }BMC + \textrm{pole }CMA + \textrm{pole }AMB =<br />
\textrm{pole }ABC,<br />
\]

więc

\[<br />
\frac{1}{2} ax + \frac{1}{2} ay + \frac{1}{2} az = \frac{1}{2} ah,<br />
\]

skąd

\[<br />
(2) \qquad x+y + z = h.<br />
\]

Jeżeli punkt $ M $ leży na brzegu trójkąta $ ABC $, to po lewej stronie równości (1) i (2) jeden lub dwa składniki równają się zeru; widoczne jest, że wzór (2) i wówczas jest prawdziwy.

Wzór (2) wyraża twierdzenie Vivianiego: Suma odległości dowolnego punktu trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta równa się wysokości trójkąta.

2°. Jeżeli $ M $ jest punktem wewnętrznym czworościanu foremnego $ ABCD $ (rys. 13), to

\[<br />
\textrm{obj. }MBCD + \textrm{obj. }MCDA + \textrm{obj. }MDAB + \textrm{obj. }MABC = \textrm{obj. }ABCD.<br />
\]

Oznaczając pole ściany bocznej czworościanu, jego wysokość oraz odległości punktu $ M $ od ścian $ BCD $, $ CDA $, $ DAB $, $ ABC $ czworościanu odpowiednio literami $ S $, $ h $, $ x $, $ y $, $ z $, $ u $ otrzymujemy na mocy powyższej równości

\[<br />
\frac{1}{3} S\cdot x + \frac{1}{3}S\cdot y + \frac{1}{3}S\cdot z+ \frac{1}{3} S\cdot u =\frac{1}{3} S\cdot h,<br />
\]

a stąd

\[<br />
x+y+z+u=h.<br />
\]

Uwaga 1. Jeżeli trójkąt $ ABC $ nie jest równoboczny, suma $ x + y + z $ odległości punktu $ M $ tego trójkąta od jego boków nie jest stała. Nasuwa się pytanie: dla którego punktu $ M $ suma ta jest najmniejsza, a dla którego największa?

Przypuśćmy, że trójkąt jest różnoboczny, niech np.$  AB > AC > BC $. Ponieważ

\[<br />
x + y + z =<br />
\frac{2 \cdot \textrm{pole }BMC}{BC} + \frac{2 \cdot \textrm{pole }CMA}{CA} + \frac{2 \cdot \textrm{pole }AMB}{AB},<br />
\]

więc

\[<br />
x + y +z \geq \frac{2 \cdot (\textrm{pole }BMC + \textrm{pole }CMA + \textrm{pole }AMB)}{AB} = \frac{2 \cdot \textrm{pole }ABC}{AB} = h_{AB},<br />
\]

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy $ \textrm{pole }BMC = \textrm{pole }CMA = 0 $, tj. gdy punkt $ M $ znajduje się w punkcie $ C $. Podobnie

\[<br />
x + y + z \leq \frac{2 (\textrm{pole }BMC + \textrm{pole }CMA + \textrm{pole }AMB)}{BC} = \frac{2 \cdot \textrm{pole }ABC}{BC} = h_{BC},<br />
\]

przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy $ \textrm{pole }CMA = \textrm{pole }AMB = 0 $, tj, gdy punkt $ M $ pokrywa się z punktem $ A $.

A zatem $ x + y + z $ ma wartość najmniejszą, gdy punkt $ M $ leży w wierzchołku $ C $, największą zaś, gdy leży on w wierzchołku $ A $; wartości te są równe najkrótszej i najdłuższej wysokości trójkąta. Czytelnik zechce sam sformułować twierdzenie dla przypadku trójkąta równoramiennego.

Analogicznie znajdujemy minimum i maximum sumy odległości punktu leżącego w dowolnym czworościanie od ścian tego czworościanu.

Uwaga 2. Twierdzenie Vivianiego można uogólnić rozważając również punkty $ M $ leżące na zewnątrz trójkąta $ ABC $. Przyjmiemy następującą umowę: odległość punktu $ M $ od prostej przechodzącej przez $ 2 $ wierzchołki trójkąta uważać będziemy za dodatnią lub ujemną zależnie od tego, czy punkt $ M $ leży po tej samej stronie owej prostej, co trzeci wierzchołek trójkąta, czy po stronie przeciwnej. Prawdziwe jest wówczas twierdzenie:

Jeżeli $ ABC $ jest trójkątem równobocznym, to suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny $ ABC $ od prostych $ BC $, $ CA $, $ AB $ jest stała, a mianowicie równa się wysokości trójkąta $ ABC $.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla czworościanu foremnego. Dowody obu twierdzeń łatwo przeprowadzić sposobem 1.

Uwaga 3. Jeszcze ogólniejsze twierdzenia uzyskamy, rozważając zamiast trójkąta równobocznego dowolny wielokąt równoboczny (niekoniecznie wypukły), a zamiast czworościanu foremnego dowolny wielościan, którego wszystkie ściany mają równe pola. Sformułowanie i uzasadnienie tych twierdzeń proponujemy czytelnikowi.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź