VII OM - II - Zadanie 1

Dla jakiej wartości $ m $ wielomian $ x^3 + y^3 + z^3 + mxyz $ jest podzielny przez $ x + y + z $?

Rozwiązanie

Wyrażenie $ x^3 + y^3 + z^3 + mxyz $ jest wielomianem trzeciego stopnia względem $ x $; wielomian ten jest podzielny przez $ x + y + z $ wtedy i tylko wtedy, gdy ma pierwiastek $ x = - y - z $, tzn. wtedy, gdy podstawiając $ - (y + z) $ zamiast $ x $ otrzymamy tożsamościowo $ 0 $. Stąd warunek

\[<br />
-(y + z)^3 + y^3 + z^3 - m(y + z)yz = 0,<br />
\]

który można napisać w postaci

\[<br />
(3 + m) (y + z) yz = 0.<br />
\]

Równość powyższa jest tożsamością, tzn. jest prawdziwa dla wszelkich wartości $ y $ i $ z $ wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
m = - 3.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź