VII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ H $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta nieprostokątnego $ ABC $, to okręgi opisane na trójkątach $ AHB $, $ BHC $, $ CHA $ i $ ABC $ są równe.

Rozwiązanie

Niech $ R $ oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, a $ R_1 $ - promień okręgu opisanego na trójkącie $ AHB $ (rys. 16); wówczas

\[<br />
R = \frac{AB}{2 \sin \measuredangle ACB},\<br />
R_1 = \frac{AB}{2 \sin \measuredangle AHB}.<br />
\]

Otóż $ \measuredangle AHB = \measuredangle NHM = 180^\circ - \measuredangle NCM = 180^\circ - \measuredangle ACB $, gdyż w czworokącie $ MHNC $ kąty $ M $ i $ N $ są proste. Zatem

\[<br />
\sin \measuredangle AHB = \sin \measuredangle ACB<br />
\]

i

\[<br />
R_1 = R.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź