VII OM - II - Zadanie 3

Jednorodna pozioma płyta o ciężarze $ Q $ kG mająca kształt koła jest podparta w punktach $ A $, $ B $, $ C $ leżących na obwodzie płyty, przy czym $ AC = BC $ i $ ACB = 2\alpha $. Jaki ciężar $ x $ kG należy umieścić na płycie w drugim końcu $ D $ średnicy poprowadzonej z punktu $ C $, aby nacisk płyty na podporę w$ C $G był równy zeru?

Rozwiązanie

Ciężar $ Q $ płyty podpartej w punktach $ A $, $ B $, $ C $ (rys. 17) jest zrównoważony przez reakcje podpór w tych punktach, działające pionowo w górę. Środek ciężkości $ O $ płyty, jako punkt zaczepienia ciężaru $ Q $ działającego w dół, musi leżeć wewnątrz trójkąta $ ABC $, tzn. kąt $ 2\alpha $ musi być ostry. Wobec symetrii płyty względem prostej $ CD $ reakcje w $ A $ i $ B $ są równe, ich wypadkowa $ R $ przechodzi przez środek $ E $ odcinka $ AB $; moglibyśmy usunąć podpory w $ A $ i $ B $ a, podeprzeć płytę w $ E $. Jeżeli umieścimy na płycie w punkcie $ D $ ciężar $ x $, reakcje podpór ulegną zmianie. Mamy wyznaczyć ciężar $ x $ w ten sposób, aby reakcja w $ C $ (równa naciskowi płyty na podporę w $ C $) stała się równa zeru. Nastąpi to wtedy, gdy ciężary $ Q $ i $ x $ oraz reakcja $ R $ będą w równowadze.

Według znanego prawa dźwigni zachodzi wówczas równość

\[<br />
x \cdot DE = Q \cdot OE,<br />
\]

a ponieważ $ OE = OA \cos 2\alpha $, $ DE = OD - OE = OD (1 - \cos 2\alpha) $, więc

\[<br />
x = \frac{Q \cos 2 \alpha}{1 - \cos 2\alpha}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź