VII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że równanie $ 2x^2 - 215y^2 = 1 $ nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

Rozwiązanie

Niech $ x $ i $ y $ oznaczają liczby całkowite. Liczba $ 215y^2 $ jest podzielna przez $ 5 $, więc liczba $ 215y^2 + 1 $ daje w dzieleniu przez $ 5 $ resztę $ 1 $. Liczba $ x^2 $ ma jedną z postaci $ 5k $, $ 5k + 1 $, $ 5k + 4 $ ($ k $ - liczba całkowita, patrz zadanie 2), zatem liczba $ 2x^2 $ - jedną z postaci $ 10k $, $ 10k + 2 $, $ 10k + 8 =10k +5 + 3 $, daje więc w dzieleniu przez $ 5 $ jedną z reszt $ 0 $, $ 2 $ lub $ 3 $. Nie może więc zachodzić równość $ 2x^2 = 215y^2 + 1 $, tj. dane równanie nie ma rozwiązań całkowitych.

Uwaga. Rozwiązanie zadania można ująć krócej, jeżeli dane równanie zastąpimy równaniem równoważnym $ (2x)^2 = 430y^2 + 2 $ i zamiast reszt w dzieleniu przez $ 5 $ rozważymy reszty w dzieleniu przez $ 10 $, tj. ostatnie cyfry wyrazów tego równania, gdy $ x $ i $ y $ są liczbami całkowitymi. Otóż ostatnią cyfrą kwadratu liczby parzystej $ 2x $ może być tylko $ 0 $, $ 4 $ lub $ 6 $, ostatnią cyfrą liczby $ 430y^2 $ jest $ 0 $, wobec czego ostatnią cyfrą liczby $ 430y^2 + 2 $ jest $ 2 $. Dane równanie nie może więc mieć rozwiązań całkowitych $ (x, y) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź