VII OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że liczby $ A $, $ B $, $ C $ określone wzorami

\[<br />
A = \tg \beta \tg \gamma + 5,\<br />
B = \tg \gamma \tg \alpha + 5,\<br />
C = \tg \alpha \tg \beta + 5,<br />
\]

gdzie $ \alpha>0 $, $ \beta > 0 $, $ \gamma > 0 $ i $ \alpha + \beta + \gamma = 90^\circ $, spełniają nierówność

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} < 4 \sqrt{3}.<br />
\]

Rozwiązanie

Gdy $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są kątami ostrymi dającymi w sumie kąt prosty, to $ \tg \beta \cdot \tg \gamma + \tg \gamma \cdot \tg \alpha + \tg \alpha \cdot \tg \beta = 1 $ (patrz zadanie 10), zatem

\[<br />
(2) \qquad A + B + C = 16.<br />
\]

Zadanie sprowadza się do wykazania, że liczby nieujemne $ A $, $ B $, $ C $ czyniące zadość warunkowi (2) spełniają nierówność (1). Aby to udowodnić, oprzemy się na tożsamości

\[<br />
(\sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C})^2 + (\sqrt{A} - \sqrt{B})^2 + (\sqrt{B} - \sqrt{C})^2 + (\sqrt{C} - \sqrt{A})^2 = 3 (A + B + C).<br />
\]

Ponieważ składniki lewej strony tej tożsamości są nieujemne, więc

\[<br />
(\sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C})^2 \leq 3 (A + B + C);<br />
\]

stąd

\[<br />
\sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} \leq \sqrt{3 (A + B + C)},<br />
\]

a ponieważ zachodzi równość (2), więc

\[<br />
\sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C} \leq 4 \sqrt{3}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź