VII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ ABCD $ odcinki łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe przecinają się w jednym punkcie, to

\[<br />
(1) \qquad AB \cdot CD = AC \cdot BD = AD \cdot BC<br />
\]

i że zachodzi również twierdzenie odwrotne.

Rozwiązanie

1°. Niech $ S $ będzie środkiem koła wpisanego w trójkąt $ ABC $, a $ T $ - środkiem koła wpisanego w trójkąt $ BCD $ (rys. 18). Według założenia odcinki $ AT $ i $ DS $ przecinają się w pewnym punkcie $ P $. Płaszczyzna przechodząca przez krawędź $ AD $ i przez punkt $ P $ przecina krawędź $ BC $ w punkcie $ M $, który jest punktem przecięcia półprostych $ AS $ i $ DT $. Półprosta $ AS $ jest dwusieczną kąta $ BAC $, a półprosta $ DT $ - dwusieczną kąta $ BDC $; według twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie

\[<br />
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC}<br />
\textrm{ i }<br />
\frac{BD}{DC} = \frac{BM}{MC},<br />
\]

zatem

\[<br />
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}<br />
\textrm{ i }<br />
AB \cdot DC = AC \cdot BD.<br />
\]

Ponieważ takie samo rozumowanie można zastosować do dowolnych dwóch ścian czworościanu, więc wszystkie $ 3 $ iloczyny krawędzi przeciwległych są równe, tj. zachodzą równości (1).

2°. Załóżmy, że krawędzie czworościanu spełniają równości (1). Z równości $ AB \cdot CD = AC \cdot BD $ wynika, że $ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} $, skąd wnioskujemy, że dwusieczne kątów $ BAC $ i $ BDC $ przecinają odcinek $ BC $ w tym samym punkcie $ M $, gdyż pierwsza dzieli odcinek $ BC $ w stosunku $ \frac{AB}{AC} $, druga zaś w stosunku $ \frac{BD}{CD} $. Wobec tego odcinki $ AT $ i $ DS $ (gdzie $ S $ i $ T $ są środkami kół wpisanych w trójkąty $ ABC $ i $ BDC $) przecinają się w pewnym punkcie $ P $ trójkąta $ AMD $.

W taki sam sposób dowiedziemy, że każde dwa spośród odcinków łączących wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w przeciwległe ściany czworościanu przecinają się. Należy jeszcze udowodnić, że wszystkie te odcinki przecinają się w jednym i tym samym punkcie. Wykażemy na przykład, że odcinek $ CR $ ($ R $ - środek koła wpisanego w trójkąt $ ABD $) przechodzi przez punkt przecięcia $ P $ odcinków $ AT $ i $ DS $. Istotnie, odcinek $ CR $ przecina płaszczyznę $ AMD $ w pewnym punkcie $ Q $, gdyż punkty $ R $ i $ C $ leżą po przeciwnych stronach tej płaszczyzny. Ponieważ zaś odcinek $ CR $ przecina każdy z odcinków $ AT $ i $ DS $ płaszczyzny $ AMD $, więc punkt $ Q $ pokrywa się z punktem $ P $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź