VII OM - III - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{array}{l}<br />
x^2y^2 + x^2z^2 = axyz\\<br />
y^2z^2 + y^2x^2 = bxyz\\<br />
z^2x^2 + z^2y^2 = cxyz.<br />
\end{array}<br />
\]

Rozwiązanie

1) Wyznaczymy najpierw rozwiązania rzeczywiste układu (1) spełniające warunek $ x \ne 0 $, $ y \ne 0 $, $ z \ne 0 $. Przy tym założeniu układ (1) jest równoważny układowi równań

\[<br />
(2) \qquad<br />
\frac{xy}{z} + \frac{xz}{y} = a,\<br />
\frac{yz}{x} + \frac{yx}{z} = b,\<br />
\frac{zx}{y} + \frac{zy}{x} =c,<br />
\]

który otrzymujemy dzieląc każde z równań (1) obustronnie przez $ xyz $.

Łatwy rachunek pokazuje, że układ (2) jest równoważny układowi równań

\[<br />
(3) \qquad<br />
\frac{yz}{x} = \alpha,\<br />
\frac{zx}{y} = \beta,\<br />
\frac{xy}{z} = \gamma,<br />
\]

gdzie

\[<br />
(4) \qquad<br />
\alpha = \frac{b + c - a}{2},\<br />
\beta = \frac{c + a - b}{2},\<br />
\gamma = \frac{a + b - c}{2}.<br />
\]

Zauważmy, że układ (3) może mieć rozwiązania tylko wtedy,, gdy $ \alpha \ne 0 $, $ \beta \ne 0 $, $ \gamma \ne 0 $; przyjmiemy, że $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ warunek ten spełniają.

Mnożąc parami równania układu (3) otrzymujemy układ równań

\[<br />
(5) \qquad<br />
x^2 = \beta \gamma,\<br />
y^2 = \gamma \alpha,\<br />
z^2 = \alpha \beta.<br />
\]

Jeżeli pewne liczby $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równania (3), to spełniają też równania (5), ale nie na odwrót. Możemy się o tym przekonać np. w sposób następujący. Jeśli liczby $ x_1 $, $ y_1 $, $ z_1 $ spełniają równanie (5), to liczby $ - x_1 $, $ y_1 $, $ z_1 $ też spełniają równania (5). Tymczasem trójki liczb $ (x_1, y_1, z_1) $ i $ (-x_1, y_1, z_1) $ nie mogą obie spełniać równań (3), gdyż wówczas byłoby np. $ \frac{y_1z_1}{x_1} = \alpha $ i jednocześnie $ \frac{y_1z_1}{-x_1} = \alpha $, po dodaniu zaś tych równości otrzymalibyśmy $ 0 = 2\alpha $, wbrew założeniu, że $ \alpha \ne 0 $. Układ równań (5) nie jest zatem równoważny układowi (3). Mówimy, że układ (5) wynika z układu (3), ale układ (3) nie wynika z układu (5).

Wobec powyższego, aby rozwiązać układ równań (3), należy znaleźć wszystkie rozwiązania układu równań (5) i wybrać z nich te, które spełniają równania (3).

Warunkiem istnienia rozwiązań (rzeczywistych) układu równań (5) są nierówności

\[<br />
(6) \qquad<br />
\beta \gamma > 0,\<br />
\gamma \alpha > 0,\<br />
\alpha \beta > 0,<br />
\]

które oznaczają, że wszystkie trzy liczby $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są tego samego znaku.

Jeżeli warunek (6) jest spełniony, to rozwiązania układu (5) są wyznaczone wzorami

\[<br />
(7) \qquad<br />
x = \pm \sqrt{\beta \gamma},\<br />
y = \pm \sqrt{\gamma \alpha},\<br />
z = \pm \sqrt{\alpha \beta}.<br />
\]

Układ równań (5) ma więc $ 8 $ rozwiązań odpowiadających $ 8 $ możliwym kombinacjom znaków we wzorach (7). Z tych $ 8 $ rozwiązań należy wybrać te, które są również rozwiązaniami układu równań (3). Zależy to od znaku liczb $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $.

a) Jeżeli $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są dodatnie, to z równań (3) widzimy, że wartości niewiadomych $ x $, $ y $, $ z $ muszą być albo wszystkie dodatnie, albo jedna musi być dodatnia, a dwie ujemne. Układ (3) ma w tym przypadku $ 4 $ rozwiązania:

\[<br />
(8) \qquad<br />
\begin{array}{lll}<br />
x =  \sqrt{\beta \gamma}, & y =  \sqrt{\gamma \alpha}, & z =  \sqrt{\alpha \beta},\\<br />
x =  \sqrt{\beta \gamma}, & y = -\sqrt{\gamma \alpha}, & z = -\sqrt{\alpha \beta},\\<br />
x = -\sqrt{\beta \gamma}, & y =  \sqrt{\gamma \alpha}, & z = -\sqrt{\alpha \beta},\\<br />
x = -\sqrt{\beta \gamma}, & y = -\sqrt{\gamma \alpha}, & z =  \sqrt{\alpha \beta},<br />
\end{array}<br />
\]

co łatwo sprawdzić przez podstawienie do równań (3).

b) Jeżeli $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są ujemne, to wartości $ x $, $ y $, $ z $ muszą być albo wszystkie ujemne, albo jedna musi być ujemna, a dwie dodatnie. Stwierdzamy, że układ ma w tym przypadku również $ 4 $ rozwiązania:

\[<br />
(9) \qquad<br />
\begin{array}{lll}<br />
x = -\sqrt{\beta \gamma}, & y = -\sqrt{\gamma \alpha}, & z = -\sqrt{\alpha \beta},\\<br />
x = -\sqrt{\beta \gamma}, & y =  \sqrt{\gamma \alpha}, & z =  \sqrt{\alpha \beta},\\<br />
x =  \sqrt{\beta \gamma}, & y = -\sqrt{\gamma \alpha}, & z =  \sqrt{\alpha \beta},\\<br />
x =  \sqrt{\beta \gamma}, & y =  \sqrt{\gamma \alpha}, & z = -\sqrt{\alpha \beta}.<br />
\end{array}<br />
\]

2) Należy jeszcze zbadać, czy układ równań (1) ma rozwiązania, w których jedna lub więcej niewiadomych ma wartość zero. Podstawiając $ x = 0 $ do równań (1) widzimy, że pierwsze równanie jest spełnione tożsamościowo, drugie zaś i trzecie dają to samo równanie

\[<br />
y^2z^2 = 0,<br />
\]

skąd wynika, że jedna z niewiadomych $ y $, $ z $ musi być równa zeru, a druga może mieć wartość dowolną. Układ równań (1) ma zatem następujące rozwiązania rozważanego rodzaju:

\[<br />
(10) \qquad<br />
\begin{array}{l}<br />
x = 0,\     y = 0,\    z - \textrm{dowolne}, \\<br />
x = 0,\     y - \textrm{dowolne}, \  z = 0,<br />
x - \textrm{dowolne},\     y = 0,  \  z = 0.<br />
\end{array}<br />
\]

Streśćmy uzyskane wyniki. Układ równań (1) ma zawsze rozwiązania (10). Ponadto, jeśli wszystkie $ 3 $ liczby $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ określone wzorami (4) są dodatnie, to układ (1) ma jeszcze rozwiązania (8), jeśli zaś liczby $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są wszystkie ujemne, to układ (1) ma jeszcze rozwiązania (9).

Uwaga. Powyżej wyznaczyliśmy rozwiązania rzeczywiste układu równań (1). Aby rozwiązać zadanie w dziedzinie liczb zespolonych (uważając $ a $, $ b $, $ c $ również za dowolnie dane liczby zespolone), rozumujemy, jak następuje.

Tak samo jak poprzednio stwierdzamy, że układ równań (1) ma zawsze rozwiązania (10) i że rozwiązania inne [stanowiące zarazem rozwiązania układu (3)] istnieją tylko wtedy, gdy żadna z liczb $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ określonych wzorami (4) nie jest równa zeru. Jeżeli ten warunek jest spełniony, to każde z równań (5) ma dwa rozwiązania będące liczbami przeciwnymi. Niech rozwiązaniami pierwszych dwóch równań (5) będą liczby $ x_0 $ i $ - x_0 $ oraz $ y_0 $ i $ -y_0 $. Podstawiając $ x = x_0 $, $ y = y_0 $ do pierwszego z równań (3), otrzymujemy dla niewiadomej z wartość $ z_0 = \frac{\alpha x_0}{y_0} $. Liczby $ x_0 $, $ y_0 $, $ z_0 $ spełniają również drugie i trzecie równanie układu (3), gdyż

\[<br />
\frac{z_0x_0}{y_0}=<br />
\frac{\alpha x_0x_0}{y_0y_0}=<br />
\frac{\alpha x_0^2}{y_0^2}=<br />
\frac{\alpha \beta \gamma}{\gamma \alpha}= \beta,<br />
\]

a

\[<br />
\frac{x_oy_0}{z_0} = \frac{x_0y_0^2}{\alpha x_0} = \frac{\gamma \alpha}{\alpha} = \gamma.<br />
\]

Jednym rozwiązaniem układu (3) jest więc

\[<br />
x = x_0,\      y = y_0,\     z = z_0, \textrm{ przy czym }<br />
  z_0 = \frac{\alpha x_0}{y_0}.<br />
\]

Analogicznie otrzymujemy $ 3 $ inne rozwiązania:

\[<br />
\begin{array}{lll}<br />
x =  x_0, & y = - y_0, & z = - z_0, \\<br />
x = -x_0, & y =   y_0, & z = - z_0, \\<br />
x = -x_0, & y = - y_0, & z =   z_0.<br />
\end{array}<br />
\]

Łatwo sprawdzić, że gdy spełniony jest warunek (6), wtedy $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ są liczbami rzeczywistymi tego samego znaku, a $ 4 $ rozwiązania powyższe pokrywają się z rozwiązaniami (8), jeśli $ \alpha > 0 $, $ \beta > 0 $, $ \gamma > 0 $, a z rozwiązaniami (9), jeśli $ \alpha < 0 $, $ \beta < 0 $, $ \gamma < 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź