VII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}<br />
\]

oraz $ n $ jest dowolną liczbą naturalną nieparzystą, to

\[<br />
(2) \qquad<br />
\frac{1}{a^n} + \frac{1}{b^n} + \frac{1}{c^n} =<br />
\frac{1}{a^n + b^n + c^n}<br />
\]

Rozwiązanie

Przekształcamy równość (1); przenosimy wyrażenie $ \frac{1}{a + b + c} $ na lewą stronę i mnożymy obie strony przez $ abc (a + b + c) $:

\[<br />
(a + b + c) bc + (a + b + c) ac + (a + b + c) ab - abc = 0.<br />
\]

Otwieramy nawiasy i porządkujemy lewą stronę według potęg $ a $; otrzynmjemy

\[<br />
a^2 (b + c) + a(b + c)^2 + bc (b + c) = 0,<br />
\]
\[<br />
(b + c) [a^2 + a (b + c) + bc] = 0<br />
\]

i wreszcie

\[<br />
(3) \qquad (b + c) (c + a) (a + b) = 0.<br />
\]

Z równości (3) wynika, że dwie spośród liczb $ a $, $ b $, $ c $ są liczbami przeciwnymi, np. $ b = - a $. W takim razie $ b_n = - a^n $ dla każdego nieparzystego $ n $, wobec czego równość (2) przybiera postać $ \frac{1}{c^n} = \frac{1}{c^n} $, jest więc prawdziwa.

Uwaga. W taki sam sposób można dowieść twierdzenia ogólniejszego:

Jeżeli równość (2) zachodzi dla pewnej nieparzystej wartości wykładnika $ n $, to zachodzi wówczas dla każdej wartości nieparzystej $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź