VII OM - III - Zadanie 3

Na prostej dane są trzy różne punkty $ M $, $ D $, $ H $. Zbudować trójkąt prostokątny, dla którego $ M $ jest środkiem przeciwprostokątnej, $ D $ - punktem przecięcia dwusiecznej kąta prostego z przeciwprostokątną, a $ H $ - spodkiem wysokości na przeciwprostokątną.

Rozwiązanie

Niech $ ABC $ będzie poszukiwanym trójkątem prostokątnym. Ponieważ punkty $ M $, $ D $, $ H $ są różne, więc przy prostokątne $ AC $ i $ BC $ nie są równe, niech np. $ AC > BC $. Wówczas punkt $ D $ leży między punktami $ M $ i $ B $, a punkt $ H $ - między punktami $ D $ i $ B $, zatem punkt $ D $ leży między punktami $ M $ i $ H $ (rys. 19).

Ponieważ

\[<br />
\measuredangle MCD = \measuredangle ACD - \measuredangle ACM =<br />
45^\circ - \measuredangle A,<br />
\]

a

\[<br />
\measuredangle DCH = \measuredangle ACH - \measuredangle ACD =<br />
90^\circ - \measuredangle A - 45^\circ = 45^\circ - \measuredangle A,<br />
\]

więc $ CD $ jest dwusieczną kąta przy wierzchołku $ C $ trójkąta $ MCH $. Stąd wynika, że $ MD > DH $, gdyż $ MD \colon DH = MC \colon CH $, a $ MC > CH $.

Zadanie ma zatem rozwiązanie tylko wtedy, gdy dane punkty $ M $, $ D $, $ H $ są tak położone, że $ D $ leży między $ M $ i $ H $ i $ MD > CH $. Warunki te są zarazem dostateczne. Wierzchołek $ C $ znajdziemy bowiem jako punkt przecięcia okręgu Apolloniusza dla odcinka $ MH $ i stosunku $ MD \colon DH $ z prostopadłą do prostej $ MH $ w punkcie $ H $, który leży wewnątrz owego okręgu. Pozostałe wierzchołki trójkąta znajdziemy odmierzając na prostej $ MH $ po obu stronach punktu $ M $ odcinki $ MA = MC $ i $ MB = MC $. Otrzymany w ten sposób trójkąt $ ABC $ spełnia warunki zadania. Jest on bowiem prostokątny, gdyż punkt $ C $ leży na okręgu o średnicy $ AB $, $ CM $ jest jego środkową, $ CH $ - wysokością; wreszcie $ CD $ jest dwusieczną kąta $ C $, gdyż $ \measuredangle ACD = \measuredangle ACM + \measuredangle MCD = \measuredangle A + \measuredangle MCD = \measuredangle BCH + \measuredangle HCD = \measuredangle BCD $.

Zadanie ma dwa rozwiązania symetryczne względem danej prostej $ MH $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź