VII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a $, $ b $, $ c $ spełniają równanie

\[<br />
(1) \qquad a^2 + b^2 = c^2,<br />
\]

to:

1° co najmniej jedna z liczb $ a $ i $ b $ jest podzielna przez $ 3 $,

2° co najmniej jedna z liczb $ a $ i $ b $ jest podzielna przez $ 4 $,

3° co najmniej jedna z liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest podzielna przez $ 5 $.

Rozwiązanie

1°. Ponieważ kwadrat liczby całkowitej daje przy dzieleniu przez $ 3 $ resztę $ 0 $ lub $ 1 $ (patrz rozwiązanie zadania 2), więc gdyby ani $ a $, ani $ b $ nie było podzielne przez $ 3 $, to reszta z dzielenia $ a^2 + b^2 $ przez $ 3 $ byłaby równa $ 2 $, co jest niemożliwe, gdyż $ a^2 + b^2 $ równa się kwadratowi liczby całkowitej $ c $. Zatem co najmniej jedna z liczb $ a $ i $ b $ jest podzielna przez $ 3 $.

2°. Przypuśćmy najpierw, że liczby $ a $, $ b $, $ c $ są względnie pierwsze, tzn. nie mają wspólnego dzielnika większego od $ 1 $. Ponieważ każdy wspólny dzielnik dwóch spośród liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest wobec związku (1) dzielnikiem trzeciej z nich, więc przy powyższym założeniu każde dwie z liczb $ a $, $ b $, $ c $ są względnie pierwsze. Liczby $ a $ i $ b $ nie mogą być wówczas obie parzyste, gdyż są względnie pierwsze. Wykażemy, że liczby $ a $ i $ b $ nie mogą też być obie nieparzyste. Istotnie, gdyby było $ a = 2k + 1 $, $ b = 2l + 1 $, to liczba $ a^2 + b^2 = 4 (k^2 + l^2) + 4 (k + l) + 2 $ dawałaby w dzieleniu przez $ 4 $ resztę $ 2 $, gdy tymczasem liczba $ c^2 $ może dawać w dzieleniu przez $ 4 $ tylko resztę $ 0 $ albo $ 1 $. Zatem jedna z liczb $ a $ i $ b $ jest parzysta, $ a $ druga - nieparzysta; $ c $ jest w takim razie liczbą nieparzystą.

Przypuśćmy, że np. $ a $ jest liczbą parzystą. Z równości (1) wynika, że

\[<br />
\left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{c + b}{2} \cdot \frac{c - b}{2}.<br />
\]

Ponieważ liczby $ b $ i $ c $ są nieparzyste, więc $ \frac{c + b}{2} $ i $ \frac{c - b}{2} $ są liczbami całkowitymi; suma tych liczb równa się liczbie nieparzystej $ c $, więc jedna z liczb $ \frac{c + b}{2} $, $ \frac{c - b}{2} $ jest parzysta, a druga nieparzysta, ich iloczyn równy $ \left( \frac{a}{2} \right)^2 $ jest więc liczbą parzystą. Zatem $ \frac{a}{2} $ jest liczbą parzystą, tzn. $ a $ jest podzielne przez $ 4 $.

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy największym wspólnym dzielnikiem liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest liczba $ d > 1 $. Wtedy $ a = da_1 $, $ b = db_1 $, $ c = dc_1 $, przy czym $ a_1 $, $ b_1 $, $ c_1 $ są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, a wobec równości (1) jest $ d^2a_1^2 + d^2b_1^2 = d^2c_1^2 $, skąd $ a_1^2 + b_1^2 = c_1^2 $. Poprzednio udowodniliśmy, że w tym przypadku jedna z liczb $ a_1 $ i $ b_1 $, na przykład $ a_1 $ jest podzielna przez $ 4 $, wówczas liczba $ a = da_1 $ jest też podzielna przez $ 4 $.

Udowodniliśmy, że jeżeli liczby $ a $, $ b $, $ c $ spełniają równanie (1), to co najmniej jedna z liczb $ a $ i $ b $ jest podzielna przez $ 4 $.

3°. Liczba niepodzielna przez $ 5 $ jest postaci $ 5k \pm 1 $ lub $ 5k \pm 2 $. Ponieważ $ (5k \pm 1)^2 = 25k^2 \pm 10k + 1 $, $ (5k \pm 2)^2 = 25k^2 \pm 20k + 4 $, więc kwadrat liczby niepodzielnej przez $ 5 $ daje w dzieleniu przez $ 5 $ resztę $ 1 $ lub $ 4 $. Jeśli ani $ a $, ani $ b $ nie jest podzielne przez $ 5 $, to reszta z dzielenia $ a^2 + b^2 $ przez $ 5 $ może być tylko jedną z liczb $ 1 + 1 = 2 $, $ (1 + 4) - 5 = 0 $, $ (4 + 4) - 5 = 3 $; z drugiej strony $ a^2 + b^2 $ równa się $ c^2 $, więc w dzieleniu przez $ 5 $ może dawać tylko resztę $ 0 $, $ 1 $ lub $ 4 $. Resztą tą może więc być w tym przypadku tylko $ 0 $, co oznacza, że $ c^2 $, a więc i $ c $ jest podzielne przez $ 5 $.

Zatem co najmniej jedna z liczb całkowitych $ a $, $ b $, $ c $ spełniających równanie (1) jest podzielna przez $ 5 $.

Uwaga. Trójka liczb naturalnych $ x $, $ y $, $ z $ spełniających równanie

\[<br />
(2) \qquad x^2 + y^2 = z^2<br />
\]

nazywa się trójką pitagorejską. Jeżeli przy tym liczby $ x $, $ y $, $ z $ są względnie pierwsze, to $ (x, y, z) $ jest trójką pitagorejską pierwotną, albo rozwiązaniem pierwotnym równania (2). W punkcie 2° poprzedniego rozwiązania wykazaliśmy, że w trójce pitagorejskiej pierwotnej $ (x, y, z) $ jedna z liczb $ x $, $ y $ jest parzysta, druga zaś nieparzysta i że liczba $ z $ jest nieparzysta.

Zachodzi twierdzenie:

Jeżeli $ (x, y, z) $ jest trójką pitagorejską pierwotną, w której $ y $ jest liczbą parzystą, to istnieją takie liczby naturalne $ u $, $ v $, że

\[<br />
(3) \qquad x = u^2 - v^2,\   y = 2uv, \   z = u^2 + v^2.<br />
\]

Dowód tego twierdzenia jest prosty. Z równości (2) wynika, że

\[<br />
\left( \frac{y}{2} \right)^2  = \frac{z + x}{2} \cdot \frac{z - x}{2}.<br />
\]

Ponieważ liczby $ x $ i $ z $ są nieparzyste, więc $ \frac{z+x}{2} $ i $ \frac{z-x}{2} $ są liczbami całkowitymi. Liczby te są względnie pierwsze, gdyż każdy wspólny dzielnik tych liczb jest również dzielnikiem ich sumy, równej $ z $, i ich różnicy, równej $ x $, a liczby $ x $ i $ z $ są względnie pierwsze. Stąd wynika, że liczby $ \frac{z+x}{2} $ i $ \frac{z-x}{2} $ są kwadratami liczb naturalnych. Istotnie, w rozkładzie np. liczby $ \frac{z + x}{2} $ na czynniki pierwsze każdy czynnik pierwszy musi występować w potędze parzystej, gdyż czynnik taki nie występuje w rozkładzie liczby $ \frac{z -x}{2} $, a musi występować w potędze parzystej w rozkładzie liczby $ \frac{z+x}{2} \cdot \frac{z-x}{2} $ będącej kwadratem liczby naturalnej $ \frac{y}{2} $. Istnieją więc takie liczby naturalne $ u $ i $ v $, że

\[<br />
\frac{z+x}{2} = u^2,\<br />
\frac{z-x}{2} = v^2.<br />
\]

Stąd $ z = u^2 + v^2 $, $ x = u^2 - v^2 $, zatem $ y = 2uv $, tzn. zachodzą równości (3).

Ze wzorów (3) wynika, że $ u $ i $ v $ są względnie pierwsze, przy czym jedna z nich jest parzysta, i że $ u > v $. Odwrotnie, obierając dowolne liczby naturalne $ u $ i $ v $, spełniające te warunki, uzyskujemy ze wzorów (3) trójkę pitagorejską pierwotną $ (x,y,z) $; takąż trójką jest $ (y,x,z) $. W ten sposób otrzymujemy wszystkie trójki pitagorejskie pierwotne. Biorąc zaś $ u = u_1\sqrt{d} $, $ v = v_1\sqrt{d} $, gdzie $ u_1 $, $ v_1 $ i $ d $ są dowolnymi liczbann naturalnymi spełniającymi warunek $ u_1 > v_1 $, otrzymujemy wszystkie trójki pitagorejskie (pierwotne i niepierwotne).

Zauważymy jeszcze, że z twierdzenia (3) łatwo wysnuć rozwiązanie zadania 22.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź