VII OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że każdy wielokąt o obwodzie równym $ 2a $ można nakryć krążkiem o średnicy równej $ a $.

Rozwiązanie

Niech $ W $ będzie wielokątem, którego obwód ma długość $ 2a $. Obierzmy na jego obwodzie dwa punkty $ A $ i $ B $ dzielące obwód na połowy, tj. na dwie części o długości $ a $; wówczas $ AB <a $ (rys. 20).

Udowodnimy, że krążek o promieniu $ \frac{a}{2} $, którego środek leży w środku $ O $ odcinka $ AB $, całkowicie nakrywa wielokąt $ W $.

Zastosujemy metodę sprowadzenia do sprzeczności. Przypuśćmy, że krążek ten nie nakrywa wielokąta. Część wielokąta wystaje wówczas poza krążek, więc istnieje taki punkt $ C $ obwodu wielokąta, że $ OC > \frac{a}{2} $. Punkt $ C $ jest różny od $ A $ i od $ B $, gdyż $ OA = OB < \frac{a}{2} $, dzieli więc jedną z połówek obwodu wyznaczonych przez $ A $ i $ B $ na dwie części. Niech $ p $ będzie długością tej części, której końcami są $ A $ i $ C $, a $ q $ długością części o końcach $ C $ i $ B $; oczywiście $ p + q = a $. Ponieważ $ p \geq AC $ oraz $ q \geq CB $, więc

\[<br />
(1) \qquad a = p + q \geq AC + CB.<br />
\]

Lecz

\[<br />
(2) \qquad AC + CB > 2 OC > a.<br />
\]

Z (1) i (2) otrzymujemy sprzeczność $ a > a $; przypuszczenie, że krążek nie zakrywa wielokąta, jest więc fałszywe.

Pisząc nierówność (2) zastosowaliśmy twierdzenie, że suma boków $ AC $ i $ CB $ trójkąta $ ABC $ jest większa od podwojonej środkowej $ OC $. Twierdzenie to łatwo udowodnić: Niech $ C' $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ C $ względem punktu $ O $, wówczas

\[<br />
AC + CB = AC + C'A > C'C = 2 OC.<br />
\]

Uwaga 1. Jeżeli krążek ma średnicę mniejszą niż $ a $, np. równą $ a - d $ ($ d < a $), to nie każdy wielokąt o obwodzie $ 2a $ da się nim nakryć. Na przykład nie można nim nakryć trójkąta o bokach $ a - \frac{d}{2} $, $ \frac{a}{2} + \frac{d}{4} $, $ \frac{a}{2} + \frac{d}{4} $.

Uwaga 2. Prawdziwe jest twierdzenie ogólniejsze: krążkiem o średnicy $ a $ można nakryć każdy kawałek płaszczyzny ograniczony krzywą o długości $ 2a $. Dowód pozostaje taki sam, jak poprzednio.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź