VII OM - III - Zadanie 6

Dana jest kula o promieniu $ R $ i płaszczyzna $ \alpha $ nie mająca z tą kulą punktów wspólnych. Po płaszczyźnie $ \alpha $ porusza się punkt $ S $, który jest wierzchołkiem stożka stycznego do kuli wzdłuż okręgu o środku $ C $. Znaleźć miejsce geometryczne punktu $ C $.

Rozwiązanie

Zadanie sprowadza się do pewnego zadania planimetrycznego. Obierzmy na płaszczyźnie $ \alpha $ punkt $ S $ różny od punktu $ S_0 $, w którym prostopadła opuszczona ze środka $ O $ kuli na płaszczyznę $ \alpha $ przecina tę płaszczyznę (rys. 21).

Płaszczyzna $ S_0OS $ prostopadła do płaszczyzny $ \alpha $ przecina płaszczyznę $ \alpha $ wzdłuż prostej $ p $, daną kulę - wzdłuż okręgu $ K $ o promieniu $ R $, a stożek utworzony przez styczne do kuli poprowadzone z punktu $ S $ - wzdłuż pary stycznych $ SM $ i $ SN $ do okręgu $ K $. Środkiem okręgu styczności stożka z kulą jest środek $ C $ cięciwy $ MN $. Gdy punkt $ S $ przebiega prostą $ p $, punkt $ C $ zakreśla pewną linię $ L $. Poszukiwanym miejscem geometrycznym punktu $ C $ w przestrzeni jest powierzchnia utworzona przez obrót linii $ L $ dokoła prostej $ OS_0 $. Aby rozwiązać zadanie, wystarczy znaleźć linię $ L $.

W tym celu poprowadźmy z punktu $ S_0 $ styczne $ S_0M_0 $ i $ S_0N_0 $ do okręgu $ K $; niech $ C_0 $ oznacza środek cięciwy $ M_0N_0 $. W trójkątach prostokątnych $ OMS $ i $ OM_0S_0 $

\[<br />
OC \cdot OS = OM^2 = R^2,<br />
\]
\[<br />
OC_0 \cdot OS_0 = OM_0^2 = R^2,<br />
\]

zatem

\[<br />
OC \cdot OS = OC_0 \cdot  OS_0,,<br />
\frac{OC}{OC_0} = \frac{OS_0}{)S},<br />
\]

a wobec tego $ \frac{OC}{OC_0} = \cos \measuredangle SOS_0 = \cos \measuredangle COC_0 $ i $ CC = CC_0 \cdot \cos \measuredangle COC_0 $, skąd wynika, że punkt $ C $ jest rzutem prostokątnym punktu $ C_0 $ na prostą $ OS $, tzn. że $ \measuredangle OCC_0 $ jest prosty. Gdy punkt $ S $ zakreśla prostą $ p $, punkt $ C $ porusza się po okręgu o średnicy $ OC_0 $, przy czym znajdzie się w każdym punkcie tego okręgu z wyjątkiem punktu $ O $. Miejscem geometrycznym punktu $ C $ w płaszczyźnie okręgu $ K $ jest zatem okrąg o średnicy $ OC_0 $, z którego usunięto punkt $ 0 $. Miejscem geometrycznym punktu $ C $ w przestrzeni jest kula o średnicy $ OC_0 $ bez punktu $ O $.

Uwaga 1. Z równości $ OC = \frac{R^2}{OS} $ wynika, że punkt $ C $ jest obrazem punktu $ S $ w inwersji względem okręgu $ K $. Rozwiązanie zadania otrzymujemy natychmiast, stosując twierdzenie, że obrazem prostej w inwersji jest okrąg przechodzący przez środek $ O $ inwersji bez samego punktu $ O $.

Uwaga 2. Zadanie można postawić również dla przypadku, gdy płaszczyzna $ \alpha $ przecina daną kulę lub jest do niej styczna. Jaki jest wówczas wynik?

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź