VI OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x + y + z + u = 8\\<br />
x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = 20\\<br />
xy + xu + zy + zu = 16\\<br />
xyzu = 9<br />
\end{array}<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ

\[<br />
(x + y + z + u)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + u^2 + 2 (xy + xu + zy + zu) + 2 (xz + yu),<br />
\]
\[<br />
xy + xu + zy + zu = (x + z) (y + u),<br />
\]

przeto wprowadzając oznaczenia

\[<br />
x + z = m,\  xz =  n,\ y + u = p,\ yu = q<br />
\]

możemy układ równań (1) zastąpić układem

\[<br />
\begin{array}{cc}<br />
m + p = 8, & n + q = 6\\<br />
mp = 16, & nq = 9<br />
\end{array}<br />
\]

równoważnym układowi

\[<br />
m = p =4,\ n = q = 3<br />
\]

czyli układowi

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{array}{cc}<br />
x + z= 4, & y + u = 4\\<br />
xz = 3, & yu = 3<br />
\end{array}<br />
\]

Układ równań (2), a więc i układ (1) ma $ 4 $ rozwiązania:

\[ x_1= 3, y_1 = 3, z_1 = 1, u_1 = 1; \]
\[ x_2= 3, y_2 = 1, z_2 = 1, u_2 = 3; \]
\[ x_3= 1, y_3 = 3, z_3 = 3, u_3 = 1; \]
\[ x_4= 1, y_4 = 1, z_4 = 3, u_4 = 3; \]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź