VI OM - I - Zadanie 3

Przez środek jednego z boków nierównoległych trapezu przeprowadzić prostą, która dzieli trapez na dwie części o równych polach.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ będzie trapezem, w którym bokami równoległymi są $ AB $ i $ DC $ i niech $ M $ będzie środkiem boku $ AD $ (rys. 1). Zauważmy, że $ \textrm{pole }ABM = \frac{1}{4} AB \cdot h $, $ \textrm{pole }DCM = \frac{1}{4} DC \cdot h $, $ \textrm{pole }ABCD = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h $, gdzie $ h $ oznacza wysokość trapezu. Każdy z trójkątów $ ABM $ i $ DCM $ ma zatem pole mniejsze od połowy pola trapezu, a stąd wynika, że prosta przechodząca przez punkt $ M $ i dzieląca trapez na dwie części o równych polach musi przeciąć prostą $ BC $ w pewnym punkcie $ N $ leżącym między punktami $ B $ i $ C $. Niech $ MN $ będzie prostą szukaną, wówczas $ \textrm{pole }ABNM = \textrm{pole }MNCD $. Poprowadźmy odcinki $ AN $ i $ ND $, wówczas $ \textrm{pole }AMN = \textrm{pole }MDN $, zatem również $ \textrm{pole }ABN = \textrm{pole }CDN $. Ponieważ $ \textrm{pole }ABN = AB \cdot BN \cdot \sin \measuredangle B $, $ \textrm{pole }CDN = CD \cdot CN \cdot \sin \measuredangle C $, a

\[<br />
\sin \measuredangle C = \sin (180^\circ - \measuredangle B) = \sin B,<br />
\]

zatem

\[<br />
AB \cdot BN = CD \cdot CN \textrm{ lub }<br />
\frac{BN}{CN} = \frac{CD}{AB}.<br />
\]

Poszukiwany punkt $ N $ musi zatem dzielić odcinek $ BC $ w stosunku $ \frac{CD}{AB} $. Odwrotnie, jeśli $ \frac{BN}{CN} = \frac{CD}{AB} $, to przebiegając powyższe rozumowanie w kierunku odwrotnym stwierdzamy, że istotnie $ \textrm{pole }ABNM = \textrm{pole }MNCD $. Zadanie ma zawsze rozwiązanie i tylko jedno.

Zadanie można rozwiązać bez zastosowania trygonometrii opierając się np. na twierdzeniu, że pola trójkątów mających jedną parę równych kątów są w takim stosunku jak iloczyny boków zawierających owe równe kąty.

W tym celu na przedłużeniu boku $ BC $ odmierzamy odcinek $ CE = CN $. Wówczas $ \textrm{pole }DCE = \textrm{pole }DCN = \textrm{pole }ABN $, przy czym trójkąty $ ABN $ i $ DCE $ mają przy wierzchołkach $ B $ i $ C $ kąty równe. Stosując wymienione wyżej twierdzenie otrzymujemy

\[<br />
AB \cdot BN = CD \cdot CE = CD \cdot CN,<br />
\]

tj. tę samą równość co poprzednio.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź