VI OM - I - Zadanie 5

Znaleźć wzór wyrażający sumę

\[<br />
\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^n}<br />
\]

w zależności od $ n $.

Rozwiązanie

Według wzoru na sumę wyrazów postępu geometrycznego jest

\[<br />
2^k + 2^{k-1} + \ldots + 2 + 1 = 2^{k+1} - 1.<br />
\]

Poszukiwaną sumę $ s_n $ możemy obliczyć przedstawiając ją w postaci sumy $ n $ składników, z których każdy jest sumą pewnego postępu geometrycznego

\[<br />
\begin{split}<br />
s_n &=<br />
\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^n} = \\<br />
& = \frac{1}{2^n} \left[ 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-2} + 3 \cdot 2^{n-3} + \ldots + (n-1) \cdot 2 + n \right] = \\<br />
& = \frac{1}{2^n} \left[ (2^{n-1} + 2^{n-2} + \ldots + 1) +<br />
(2^{n-2} + 2^{n-3} + \ldots + 1 ) + \ldots + (2+1) + 1 \right].<br />
\end{split}<br />
\]

Stosując wzór wyżej podany otrzymamy

\[<br />
\begin{split}<br />
s_n & = \frac{1}{2^n} [(2^n - 1) + (2^{n-1} - 1) + \ldots + (2^2 - 1) + (2 - 1)] = \\<br />
& = \frac{1}{2^n} (2^n + 2^{n-1} + \ldots + 2^2 + 2 - n) =<br />
\frac{1}{2^n} [(2^{n+1} - 1) - 1 - n] = \\<br />
& = \frac{1}{2^n} [2^{n+1} - (2 + n)]<br />
\end{split}<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
(*) \qquad      s_n = 2- \frac{2 + n}{2^n}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź