VI OM - I - Zadanie 6

Jakie warunki konieczne i dostateczne powinny spełniać liczby całkowite $ a $ i $ b $, przy czym $ b $ nie jest kwadratem liczby całkowitej, żeby istniały liczby całkowite $ x $ i $ y $ spełniające równanie

\[<br />
\sqrt{a- \sqrt{b}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{x} - \sqrt{y} = \sqrt{a - \sqrt{b}},<br />
\]

gdzie $ a $, $ b $, $ x $, $ y $ są liczbami całkowitymi, a przy tym $ b $ nie jest kwadratem liczby całkowitej; w takim razie liczby $ a $, $ b $, $ x $, $ y $ są dodatnie, tj. są liczbami naturalnymi i $ x > y $. Podnosząc równość (1) do kwadratu otrzymujemy równość

\[<br />
 x + y - 2 \sqrt{xy} = a - \sqrt{b} \textrm{ lub }<br />
(x + y - a) + \sqrt{b} = 2 \sqrt{xy},<br />
\]

a stąd przez ponowne podniesienie do kwadratu równość

\[<br />
(2) \qquad (x + y - a)^2 + b + 2 (x + y - a) \sqrt{b} = 4 xy.<br />
\]

Z równości (2) wnioskujemy, że $ x + y - a = 0 $; gdyby bowiem było $ x + y - a \ne+ 0 $, wtedy z równości (2) wynikałoby, że

\[<br />
(3) \qquad \sqrt{b} = \frac{4xy - (x + y - a)^2 - b}{2(x + y - a)},<br />
\]

co nie może zachodzić, gdyż lewa strona równości (3) jest według założenia liczbą niewymierną, prawa zaś - wymierną.

Zatem $ x + y = a $, więc na mocy (2) $ 4xy = b $.

Rozwiązując ten układ równań względem $ x $ i $ y $ i biorąc pod uwagę, że $ x > y $ otrzymujemy

\[<br />
(4) \qquad<br />
x = \frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2},\<br />
y = \frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}.<br />
\]

Ponieważ $ x $ i $ y $ są liczbami całkowitymi, więc ze wzorów (4) wynika, że:

1° liczba $ a^2 - b $ jest kwadratem liczby całkowitej, gdyż

\[<br />
a^2 - b = (x - y)^2,<br />
\]

2° liczba $ b $ jest parzysta, gdyż $ a $ i $ \sqrt{a^2 - b} $ muszą być liczbami tej samej parzystości, oraz $ b = a^2 - (\sqrt{a^2 - b})^2 $.

Odwrotnie, jeżeli $ a $ i $ b $ są liczbami naturalnymi spełniającymi warunki 1° i 2°, to $ a $ i $ \sqrt{a^2-b} $ są liczbami naturalnymi tej samej parzystości, gdyż $ a^2 - (\sqrt{a^2-b})^2 = b $ jest liczbą parzystą; zatem liczby $ x $ i $ y $ określone wzorami (4) są liczbami naturalnymi, a przy tym spełniają one równość (1), gdyż według wzorów (4)

\[<br />
(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy} = a - 2\sqrt{\frac{b}{4}} = a - \sqrt{b}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź