VI OM - I - Zadanie 7

Na środkowej $ CM $ trójkąta $ ABC $ obrano punkt $ N $ i poprowadzono prostą $ AN $ przecinającą bok $ BC $ w punkcie $ Q $ oraz prostą $ BN $ przecinającą bok $ AC $ w punkcie $ P $. Dowieść, że prosta $ PQ $ jest równoległa do prostej $ AB $.

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę sprowadzenia do niedorzeczności. Przypuśćmy, że równoległa do prostej $ AB $ poprowadzona przez punkt $ P $ przecina prostą $ BC $ w punkcie $ Q' $ różnym od punktu $ Q $ (rys. 5). Prosta $ AQ' $ przecina wówczas prostą $ BP $ w punkcie $ N' $ różnym od punktu $ N $; prosta $ CN' $ przecina prostą $ AB $ w punkcie $ M' $ różnym od punktu $ M $, a prostą $ PQ' $ w punkcie $ K $.

Wówczas

\[<br />
AM' \colon M'B = PK \colon KQ' \textrm{(w jednokładności względem środka }C)<br />
\]
\[<br />
AM' \colon M'B = KQ' \colon PK \textrm{(w jednokładności względem środka }N')<br />
\]

Z tych równań wynika, że $ AM' \colon M'B = M'B \colon AM' $, zatem $ (AM')^2  = (M'B)^2 $ i $ AM' = M'B $, co jest sprzeczne z założeniem, że środkiem odcinka $ AB $ jest punkt $ M $, a nie punkt $ M' $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź