VI OM - I - Zadanie 8

Dowieść, że w trapez można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi, których średnicami są boki nierównoległe trapezu, są do siebie styczne zewnętrznie.

Rozwiązanie

W czworokąt wypukły $ ABCD $ można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy boków przeciwległych czworokąta są równe, tj. gdy

\[<br />
(1) \qquad AB + CD = AD + BC.<br />
\]

Gdy czworokąt $ ABCD $ jest trapezem o bokach równoległych $ AB $ i $ CD $, to oznaczając literami $ M $ i $ N $ odpowiednio środki boków $ AD $ i $ BC $ (rys. 6) mamy $ AB + CD = 2 MN $, wobec czego równość (1) możemy zastąpić równością

\[<br />
(2) \qquad MN = \frac{1}{2} AD + \frac{1}{2} BC.<br />
\]

Równość (2) zaś wyraża warunek konieczny i dostateczny styczności zewnętrznej okręgów o środkach $ M $ i $ N $ i promieniach $ \frac{1}{2} AD $ i $ \frac{1}{2} BC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź