VI OM - I - Zadanie 9

Przedstawić wielomian $ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $ w postaci różnicy kwadratów dwóch wielomianów niejednakowego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.

Rozwiązanie

Jeżeli wielomian $ W (x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $ jest równy różnicy $ U(x)^2 - V(x)^2 $, gdzie $ U(x) $ i $ V(x) $ są wielomianami niejednakowego stopnia, to wielomian $ U(x) $ musi być stopnia drugiego a wielomian $ V(x) $ stopnia pierwszego lub zerowego. W takim razie wielomian $ V(x)^2 $ nie zawiera wyrazów stopnia wyższego niż drugi, wobec czego pierwsze dwa wyrazy wielomianu $ U(x)^2 $ muszą być takie same, jak w danym wielomianie $ W(x) $, tj. $ U(x)^2 $ ma postać $ x^4 + x^3 + \ldots $. Stąd wnioskujemy, że wielomian $ U(x) $ ma postać $ U(x) = x^2 + \frac{1}{2}x + a $. Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
V(x)^2 & = U(x)^2 - W(x) = (x^2 + \frac{1}{2}x + a)^2 -(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = \\<br />
& = \left( 2a - \frac{3}{4} \right) x^2 + (a - 1) x + a^2 - 1.<br />
\end{split}<br />
\]

Z wyrażenia otrzymanego dla $ V(x)^2 $ widzimy, że $ V(x) $ nie może być stopnia zerowego, gdyż nie może być jednocześnie $ 2a - \frac{3}{4} = 0 $ i $ a - 1 = 0 $; $ V(x) $ musi być zatem stopnia pierwszego. Stąd wynika dalej że kwadrat funkcji $ V(x) $ musi być trójmianem kwadratowym, w którym współczynnik przy $ x^2 $ jest dodatni, a wyróżnik równa się $ 0 $, zatem

\[<br />
2a - \frac{3}{4} > 0,\<br />
(a-1)^2 - 4 \left( 2a - \frac{3}{4}  \right) (a^2-1) =0.<br />
\]

Drugi warunek daje po uproszczeniu równanie

\[<br />
(a - 1) (4a^2 + 2a - 1) = 0.<br />
\]

Równanie to ma trzy pierwiastki $ a = 1 $ i $ a = \frac{1}{4} $ ($  - 1 \pm \sqrt{5} $), z których tylko pierwiastek $ a = 1 $ spełnia warunek $ 2a - \frac{3}{4} > 0 $. Ostatecznie otrzymujemy rozkład

\[<br />
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + \frac{1}{2}x + 1)^2 = \left( \frac{1}{2}\sqrt{5} x \right)^2.<br />
\]

jako jedyne rozwiązanie zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź