VI OM - I - Zadanie 10

Wykazać, że liczba $ 53^{53} - 33^{33} $ jest podzielna przez $ 10 $.

Rozwiązanie

Wystarczy dowieść, że końcowe cyfry liczb $ 53^{53} $ i $ 33^{33} $ są jednakowe. Otóż końcowa cyfra iloczynu $ (10k + a) (10m + b) (10n + c) \ldots $, gdzie $ k, m, n, \ldots a, b, c, \ldots $ są liczbami naturalnymi jest równa końcowej cyfrze iloczynu $ abc\ldots $. Liczba $ 53^{53} $ ma zatem taką samą końcową cyfrę, jak liczba $ 3^{53} $. Lecz $ 3^{53} = 3^{52} \cdot 3 = (81)^{13} \cdot 3 $, więc liczba $ 3^{53} $ ma taką samą końcową cyfrę, jak liczba $ 1^{13} \cdot 3 $, tj. cyfrę $ 3 $. Podobnie liczba $ 33^{33} $ ma taką samą końcową cyfrę jak liczba $ 3^{33} = 3^{32} \cdot 3 = (3^4)^8 \cdot 3 = (81)^8 \cdot 3 $, tj. cyfrę $ 3 $, c. n. d.

Powyższemu rozumowaniu można nadać postać krótką i dobitną posługując się pojęciami i najprostszymi własnościami kongruencji (p. Zadania z olimpiad matematycznych, zadanie Nr 8).

Ponieważ $ 53 \equiv 3 \pmod {10} $, $ 33 \equiv 3 \pmod 10 $, $ 3^4  \equiv 1 \pmod{10} $, więc

\[53^{53} \equiv 3^{53} \equiv (3^4)^{13} \cdot 3 \equiv 3 \pmod{10},\]
\[33^{33} \equiv 3^{33} \equiv (3^4)^8 \cdot 3 \equiv 3 \pmod {10},\]

zatem

\[<br />
53^{53} - 33^{33} \equiv 0 \pmod {10}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź