VI OM - I - Zadanie 12

W jakiej części trójkąta równobocznego powinien leżeć punkt $ P $, aby z odcinków równych odległościom tego punktu od boków trójkąta można było zbudować trójkąt?

Rozwiązanie

Niech $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $ oznaczają odległości punktu $ P $ leżącego w trójkącie równobocznym $ ABC $ odpowiednio od boków $ BC $, $ CA $, $ AB $ tego trójkąta. Z odcinków o długościach $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $ można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy spełniają one nierówności:

\[<br />
(1) \qquad<br />
k_3 < k_1 + k_2,\<br />
k_1 < k_2 + k_3,\<br />
k_2 < k_3 + k_1.<br />
\]

Poprowadźmy przez punkt $ P $ równoległą do boku $ AB $ i niech $ D $ i $ E $ będą punktami, w których przecina ona boki $ AC $ i $ BC $ (rys. 8).

W trójkącie równobocznym $ CDE $ suma $ k_1+k_2 $ odległości punktu $ P $ leżącego na boku $ DE $ od boków pozostałych równa się wysokości $ CF $ tego trójkąta. Istotnie $ \textrm{pole }CEP + \textrm{pole }CDP = \textrm{pole }CDE $, więc $ CE \cdot k_1 + CD \cdot k_2 = DE \cdot CF $, skąd $ k_1 + k_2 = CF $. Warunek $ k_3 < k_1 + k_2 $ można zatem napisać w postaci $ k_3 < CF $, a ponieważ $ k_3 + CF $ równa się wysokości $ h $ trójkąta $ ABC $, więc warunek ten jest równoważny warunkowi

\[<br />
k_3 < \frac{1}{2} h.<br />
\]

Analogicznie nierówności $ k_1 < k_2 + k_3 $ i $ k_2 < k_3 + k_1 $ są równoważne odpowiednio nierównościom

\[<br />
k_1 < \frac{1}{2} h \textrm{ i }<br />
k_2 < \frac{1}{2} h.<br />
\]

Punkt $ P $ spełnia te trzy warunki wtedy i tylko wtedy, gdy leży wewnątrz trójkąta utworzonego przez środki boków trójkąta $ ABC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź