VI OM - II - Zadanie 1

Obliczyć sumę $ x^4 + y^4 + z^4 $ wiedząc, że $ x + y + z = 0 $ i $ x^2 + y^2 + z^2 = a $, gdzie $ a $ jest daną liczbą dodatnią.

Rozwiązanie

\[<br />
\begin{split}<br />
x^4 + y^4 + z^4 &= (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) =\\<br />
&= a^2 - 2 [(xy + yz + zx)^2 - 2x^2yz - 2xy^2z - 2xyz^2] =\\<br />
&= a^2 - 2 (xy + yz + zx)^2 - 4xyz (x+y+z) = \\<br />
&= a^2 - 2 (xy + yz + zx)^2 =\\<br />
&= a^2 - 2 \left[ \frac{(x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)}{2} \right]^2 = \\<br />
&=a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}.<br />
\end{split}<br />
\]

Uwaga. Układ równań $ x+y+z = 0 $ i $ x^2 + y^2 + z^2 = a $, gdzie $ a > 0 $, ma nieskończenie wiele rozwiązań $ (x, y, z) $. Wynik powyższego zadania oznacza, że dla każdego z tych rozwiązań suma $ x^4 + y^4 + z^4 $ ma tę samą wartość $ \frac{a^2}{2} $. Gdyby warunek $ x+y+z =0 $ nastąpić warunkiem ogólniejszym $ x+y+z = b $, gdzie $ b $ jest daną liczbą, nie można by udowodnić, że suma $ x^4 + y^4 + z^4 $ ma wartość jednoznacznie określoną przez $ a $ i $ b $. Gdy $ a $ i $ b $ są liczbami naturalnymi, równania $ x+y+z=b $ i $ x^2 + y^2 +z^2 = a $ mogą mieć nawet rozwiązania $ (x, y, z) $ w liczbach naturalnych o różnych wartościach sumy $ x^4+y^4+z^4 $. Dowodzi tego przykład $ a = 5946 $, $ b = 108 $, gdyż

\[ 1 + 43 + 64 = 8 + 29 + 71 = 16 + 19 + 73 = 108, \]
\[ 1^2+ 43^2 + 64^2 = 8^2 + 29^2 + 71^2 = 16^2 + 19^2 + 73^2 = 5946,\]

natomiast sumy $ 1^4 + 43^4 + 64^4 $, $ 8^4 + 29^4 + 71^4 $ i $ 16^4 + 19^4 + 73^4 $ są różne.

Żeby się o tym przekonać, nie potrzeba obliczać tych sum dokładnie; wystarczy posługując się tablicą kwadratów liczb od $ 1 $ do $ 1000 $ sprawdzić, że pierwsza z nich jest mniejsza od $ 21 \cdot 10^6 $, druga jest zawarta między $ 26 \cdot 10^6 $ i $ 27 \cdot 10^6 $, a trzecia jest większa od $ 28 \cdot 10^6 $.

Gdy $ a = 66 $, $ b = 10 $, wtedy

\[<br />
(-1) + 4 + 7 = 1 + 1 + 8 = 10,\<br />
(-1)^2 + 4^2 + 7^2 = 1^2 + 1^2 + 8^2 = 66,<br />
\]

natomiast

\[<br />
(-1)^4 + 4^4 + 7^4 = 2658, \textrm{ a } 1^4 + 1^4 + 8^4 = 4098.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź