VI OM - II - Zadanie 2

Znaleźć liczbę naturalną $ n $ wiedząc, że suma

\[<br />
1 + 2 + 3 + \ldots + n<br />
\]

jest liczbą trójcyfrową o jednakowych cyfrach.

Rozwiązanie

Liczba trzycyfrowa o jednakowych cyfrach ma postać $ 111 \cdot c = 3 \cdot 37 \cdot c $, gdzie $ c $ jest jedną z liczb $ 1, 2, \ldots, 9 $, suma zaś pierwszych $ n $ liczb naturalnych wynosi $ \frac{1}{2} n (n + 1) $, wobec czego liczba $ n $ ma czynić zadość warunkowi

\[<br />
(1) \qquad n(n + 1) = 2 \cdot 3 \cdot 37 \cdot c.<br />
\]

Ponieważ $ 37 $ jest liczbą pierwszą, więc jedna z liczb $ n $ i $ n+1 $ musi być podzielna przez $ 37 $. Możliwe są dwa przypadki:

a) $ n = 37 k $, gdzie $ k $ jest liczbą naturalną; równość (1) daje wówczas

\[<br />
k (37k + 1) =2 \cdot 3 \cdot c.<br />
\]

Prawa strona jest tu najwyżej równa $ 54 $, wobec czego liczba $ k $ może być najwyżej równa $ 1 $, czyli $ n = 37 $. Wartość ta nie jest jednak rozwiązaniem zadania, gdyż $ \frac{1}{2} n (n + 1) $ równa się wówczas $ 37 \cdot 19 = 703 $.

b) $ n + 1 = 37 k $ ($ k $ = liczba naturalna); równość (1) daje $ (37 k - 1) k = 2 \cdot 3 \cdot c $.

Jedyną możliwą wartością $ k $ jest podobnie jak w a) liczba $ 1 $, wówczas $ n = 36 $ i $ \frac{1}{2} n(n + 1) = 18 \cdot 37 = 666 $. Zatem jedynym rozwiązaniem zadania jest $ n = 36 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź