VI OM - II - Zadanie 3

Jaki powinien być kąt przy wierzchołku trójkąta równoramiennego, żeby można było zbudować trójkąt o bokach równych wysokości, podstawie i jednemu z pozostałych boków tego trójkąta równoramiennego?

Rozwiązanie

Przyjmiemy oznaczenia wskazane na rys. 9. Trójkąt o bokach równych $ a $, $ c $,$ h $ można zbudować wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są nierówności:

\[<br />
a + c > h,\<br />
c + h > a,\<br />
a + h > c.<br />
\]

Ponieważ w trójkącie $ ADC $ mamy $ a > h $, $ \frac{c}{2} + h > a $, więc pierwsze dwie z powyższych nierówności zachodzą zawsze, wobec czego warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia trójkąta o bokach $ a $, $ c $, $ h $ jest nierówność

\[<br />
(1) \qquad a + h> c.<br />
\]

Z trójkąta $ ADC $ mamy $ h = a \cos \frac{x}{2} $, $ \frac{c}{2} = a \sin \frac{x}{2} $; podstawienie do nierówności (1) daje

\[<br />
1 + \cos \frac{x}{2} > 2 \sin \frac{x}{2}<br />
\]

lub

\[<br />
2 \cos^2 \frac{x}{4} > 4 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4},<br />
\]

a ponieważ $ \frac{x}{4} < 90^\circ $, więc warunek żądany przybiera postać

\[<br />
\tg \frac{x}{4} < \frac{1}{2}<br />
\]

lub

\[<br />
x < 4 \arctan \frac{1}{2}.<br />
\]

W przybliżeniu $ 4 \arctan -\frac{1}{2} \approx 106^\circ $ (z niedomiarem).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź