VI OM - II - Zadanie 4

Wewnątrz trójkąta $ ABC $ dany jest punkt $ P $; znaleźć na obwodzie tego trójkąta taki punkt $ Q $, żeby łamana $ APQ $ dzieliła trójkąt na dwie części o równych polach.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę trójkąty $ APB $ i $ APC $. Możliwe są trzy następujące przypadki:

a) Każdy z trójkątów $ APB $ i $ APC $ ma pole mniejsze od połowy pola trójkąta $ ABC $. Przypadek ten zachodzi, gdy odległości punktu $ P $ od boków $ AB $ i $ BC $ są mniejsze niż połowy odpowiednich wysokości trójkąta, tzn. gdy punkt $ P $ leży wewnątrz równoległoboku $ AFDE $, którego wierzchołki $ F $, $ D $, $ E $ są odpowiednio środkami boków $ AB $, $ BC $ i $ CA $ (rys. 10).

Jeżeli punkt $ P $ leży na tej przekątnej $ AD $ równoległoboku, która jest środkową trójkąta $ ABC $, to poszukiwany punkt $ Q $ pokrywa się z punktem $ D $.

Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy punkt $ P $ leży wewnątrz jednego z trójkątów $ AFD $ i $ AED $, na przykład wewnątrz trójkąta $ AFD $. Jeżeli łamana $ APQ $ spełnia warunki zadania, to punkt $ Q $ leży wewnątrz odcinka $ CD $, a odcinek $ PQ $ przecina środkową $ AD $ w pewnym punkcie $ S $. Wówczas $ \textrm{pole }ABQP = \textrm{pole }ABD $, zatem $ \textrm{pole }ASP = \textrm{pole }QSD $, wobec czego $ \textrm{pole }APD = \textrm{pole }QPD $, skąd wynika, że prosta $ AQ $ jest równoległa do prostej $ PD $. Poszukiwany punkt $ Q $ wyznaczymy więc w tym przypadku jako punkt przecięcia półprostej poprowadzonej przez punkt $ A $ równolegle do prostej $ PD $ z odcinkiem $ DC $. Punkt taki istnieje zawsze, gdyż owa półprosta, jako równoległa do $ PD $, leży wewnątrz kąta $ DAC $.

b) Jeden z trójkątów $ APB $ i $ APC $, na przykład $ \triangle APB $, ma pole równe połowie trójkąta $ ABC $. Poszukiwaną łamaną jest wtedy łamana $ APB $.

c) Jeden z trójkątów $ APB $ i $ APC $, na przykład $ \triangle APB $, ma pole większe od połowy pola trójkąta $ ABC $. Przypadek ten zachodzi, gdy punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ EDC $ (rys. 11).

Jeżeli łamana $ APQ $ spełnia warunek zadania, to punkt $ Q $ leży wewnątrz boku $ AB $, a odcinek $ PQ $ przecina odcinek $ AD $ w pewnym punkcie $ S $. Wówczas $ \textrm{pole }AQP = \textrm{pole }ABD $, zatem $ \textrm{pole }ASP = \textrm{pole }SQBD $. Poprowadźmy przez punkt $ B $ prostą równoległą do przekątnej $ QD $ czworokąta $ SQBD $; przetnie ona przedłużenie boku $ SD $, w pewnym punkcie $ G $. Wówczas $ \textrm{pole }QDG = \textrm{pole }QDB $ zatem $ \textrm{pole }SQBD = \textrm{pole }SQG $, wobec czego $ \textrm{pole }ASP = \textrm{pole }SQG $ a $ \textrm{pole }APG = \textrm{pole }QPG $, skąd wynika, że prosta $ PG $ jest równoległa do prostej $ AB $. Konstrukcja łamanej $ APQ $ jest więc następująca: Prowadzimy przez punkt $ P $ prostą równoległą do prostej $ AB $ do przecięcia z przedłużeniem odcinka $ AD $ w punkcie $ G $, a następnie przez punkt $ D $ prostą równoległą do prostej $ GB $, która przetnie odcinek $ AB $ w szukanym punkcie $ Q $. Istotnie $ \textrm{pole } APQ = \textrm{pole }ASQ + \textrm{pole }APS = \textrm{pole } ASQ + \textrm{pole } SQG = \textrm{pole } ASQ + \textrm{pole } APS = \textrm{pole }ABD = \frac{1}{2} \textrm{pola }ABC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź