VI OM - II - Zadanie 6

Wewnątrz kąta trójściennego $ OABC $, którego kąty płaskie $ AOB $, $ BOC $, $ COA $ są równe, obrano punkt $ S $ równo odległy od ścian tego kąta. Przez punkt $ S $ poprowadzono płaszczyznę przecinającą krawędzie $ OA $, $ OB $, $ OC $ odpowiednio w punktach $ M $, $ N $, $ P $. Dowieść, że suma

\[<br />
\frac{1}{OM} + \frac{1}{ON} + \frac{1}{OP}<br />
\]

ma wartość stałą, tzn. niezależną od położenia płaszczyzny $ MNP $.

Rozwiązanie

Obliczymy dwoma sposobami objętość $ V $ czworościanu $ OMNP $ (rya. 15).

1°. Mech $ PQ $ będzie prostopadłą opuszczoną z punktu $ P $ na płaszczyznę $ AOB $ i niech $ \alpha $ oznacza kąt $ AOB $, a $ \beta $ - kąt nachylenia krawędzi $ OP $ do płaszczyzny $ AOB $; wówczas $ PQ =OP \cdot \sin \beta $ oraz

\[<br />
\begin{split}<br />
V & = \frac{1}{3} \textrm{pole }M0N \cdot PQ =<br />
\frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} OM \cdot ON \cdot \sin \alpha\right) \cdot \left( OP \cdot \sin \beta \right)= \\<br />
& = \frac{1}{6} OM \cdot ON \cdot OP \cdot \sin \alpha \sin \beta.<br />
\end{split}<br />
\]

2°. Czworościan $ OMNP $ jest sumą czworościanów $ SM0N $, $ SNOP $, $ SPOM $ o wspólnym wierzchołku $ S $ i podstawach $ MON $, $ NOP $, $ POM $; wysokości tych czworościanów są równe odległości $ d $ punktu $ S $ od ścian kąta trójściennego. Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
V & = V_{SMON} + V_{SNOP} + V_{SPOM} = \\<br />
&=\frac{1}{3} d \cdot (\textrm{pole }MON + \textrm{pole }NOP + \textrm{pole }POM) =\\<br />
& = \frac{1}{6} d \cdot (OM \cdot ON + ON \cdot OP + OP \cdot OM) \sin \alpha.<br />
\end{split}<br />
\]

Z 1° i 2° wynika, że

\[<br />
\frac{1}{6} d \cdot (OM \cdot ON + ON \cdot OP + OP \cdot OM) \sin \alpha  = \frac{1}{6} OM \cdot ON \cdot OP \sin \alpha \sin \beta.<br />
\]

Dzieląc obie strony tej równości przez $ \frac{1}{6} d \cdot OM \cdot ON \cdot OP \cdot \sin \alpha $ otrzymujemy

\[<br />
\frac{1}{OP} + \frac{1}{OM} + \frac{1}{ON} = \frac{\sin \beta}{d},<br />
\]

skąd wynika teza twierdzenia, gdyż $ \beta $ i $ d $ nie zależą od położenia płaszczyzny $ MNP $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź