VI OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że spośród siedmiu liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny o różnicy $ 30 $ jedna i tylko jedna jest podzielna przez $ 7 $.

Rozwiązanie

Siedem liczb tworzących postęp arytmetyczny o różnicy $ 30 $ można napsać w postaci: $ a, a + 30, a + 2 \cdot 30, \ldots, a + 6 \cdot 30 $. Różnica którychkolwiek dwóch z tych liczb ma postać

\[<br />
r = (a + k \cdot 30) - (a + m \cdot 30) = (k - m) \cdot 28 + (k - m) \cdot 2,<br />
\]

gdzie $ k $ i $ m $ są liczbami całkowitymi, przy czym $ 0 \leq k \leq 6 $, $ 0 \leq m \leq 6 $, $ k \ne m $, wobec czego $ - 6 \leq  k - m \leq  6 $ i $ k - m \ne 0 $. Liczba $ (k-m) \cdot 28 $ jest podzielna przez $ 7 $, a liczba $ (k - m) \cdot 2 $ nie jest podzielna przez $ 7 $, gdyż jej wartość bezwzględna jest liczbą naturalną parzystą nie większą niż $ 12 $. Wobec tego suma tych liczb tj. liczba $ r $ nie jest podzielna przez $ 7 $. Stąd wynika, że każda z rozważanych siedmiu liczb daje inną resztę przy dzielniku $ 7 $, a zatem jedna i tylko jedna z tych siedmiu reszt równa się zeru, c. n. d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź