VI OM - III - Zadanie 1

Jakie warunki powinny spełniać liczby rzeczywiste $ a $, $ b $ i $ c $, żeby równanie

\[<br />
(1) \qquad x^3 + ax^2 + bx + c = 0<br />
\]

miało trzy różne pierwiastki rzeczywiste tworzące postęp geometryczny?

Rozwiązanie

Zadanie można sformułować w sposób następujący: Znaleźć warunki konieczne i dostateczne, jakie powinny spełniać liczby rzeczywiste $ a $, $ b $, $ c $, aby istniały liczby $ x_1 $ i $ q $ o następujących własnościach:

a) liczby $ x_1 $, $ x_1 q $, $ x_1 q^2 $ spełniają równanie (1),

b) liczby $ x_1 $ i $ q $ są rzeczywiste,

c) $ x_1 \ne 0 $,

d) $ q \ne 0 $, $ q \ne 1 $, $ g \ne -1 $.

Zajmiemy się najpierw wyszukaniem warunków koniecznych, a następnie zbadamy czy warunki te są dostateczne.

Jeżeli zachodzi a), to spełnione są równania (wzory Viete'a):

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x_1 + x_1 q + x_1 q^2 = - a,\\<br />
x_1^2 q + x1^2 q^2 + x1^2 q^3 = b,\\<br />
x_1^3 q^3 = - c.<br />
\end{array}<br />
\]

Oznaczając dla krótkości literą $ m $ tę (jedyną) liczbę rzeczywistą, dla której $ m^3 = - c $ zastąpimy układ równań (2) układem

\[<br />
(3) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x_1 (1 + q + q^2) = - a,\\<br />
x_1^2q (1 + q + q^2) = b,\\<br />
x_1 q = m.<br />
\end{array}<br />
\]

Układ równań (3) jest równoważny układowi

\[<br />
(4) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x_1 (1 + q + q^2) = - a,\\<br />
a x_1 q + b = 0,\\<br />
x_1 q = m.<br />
\end{array}<br />
\]

Drugie równanie układu (4) otrzymaliśmy mnożąc pierwsze z równań (3) przez $ x_1 q $ a następnie odejmując je od drugiego z tych równań.

Z drugiego i trzeciego równania układu (4) wynika, że

\[<br />
(\alpha) \qquad b = - dm.<br />
\]

Znaleźliśmy w ten sposób pierwszy warunek konieczny dla współczynników równania (1). Jeśli ten warunek jest spełniony, to układ (4) jest równoważny układowi

\[<br />
(5) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x_1 (1 + q + q^2) = - a,\\<br />
x_1 q = m.<br />
\end{array}<br />
\]

Zastępując w pierwszym równaniu układu (5) $ x_1 q $ przez $ m $ otrzymujemy układ równoważny

\[<br />
(6) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x_1 + mq = - a - m,\\<br />
x_1 q = m.<br />
\end{array}<br />
\]

Biorąc pod uwagę warunek (c) widzimy, że dalszym warunkiem koniecznym dla współczynników $ a $, $ b $, $ c $ jest nierówność

\[<br />
(\beta) \qquad m \ne 0.<br />
\]

Rugując $ x_1 $ z równań (6) otrzymamy równanie

\[<br />
(7) \qquad mq^2 + (m + a) q + m = 0.<br />
\]

Aby równanie (7) miało pierwiastki rzeczywiste (warunek b) musi być (wobec tego, że $ m \ne 0 $) spełniony warunek

\[<br />
(\gamma) \qquad a^2 + 2 am - 3 m^2 \geq 0.<br />
\]

Uwzględniając wreszcie, że według d) ma być $ q \ne 1 $ i $ q \ne - 1 $ otrzymujemy z równania (7) jeszcze dwa warunki konieczne dla $ a $, $ b $, $ c $:

\[<br />
(\delta) \qquad a \ne - 3 m,<br />
\]
\[<br />
(\varepsilon) \qquad a \ne m.<br />
\]

Zauważmy jednak, że wartości $ a = - 3 m $ i $ a = m $ są tymi wartościami $ a $, dla których trójmian $ a^2 + 2 am - 3 m^2 $ równa się zeru. Możemy wobec tego zastąpić warunki ($ \gamma $), ($ \delta $), ($ \varepsilon $) jednym warunkiem

\[<br />
(\eta) \qquad a^2 + 2 am - 3 m^2 > 0.<br />
\]

Ostatecznie otrzymaliśmy zatem trzy warunki ($ \alpha $), ($ \beta $), ($ \eta $) jako warunki konieczne dla współczynników $ a $, $ b $, $ c $ równania (1).

Udowodnimy, że te warunki są dostateczne, tzn. że jeżeli spełnione są warunki ($ \alpha $), ($ \beta $), ($ \eta $), to istnieją liczby $ x_1 $ i $ q $ spełniające warunki a), b), c), d).

Istotnie, na mocy ($ \beta $) i ($ \eta $) równanie (7) ma dwa pierwiastki rzeczywiste; niech $ q $ oznacza jeden z nich (drugim jest $ \frac{1}{q} $). Na mocy ($ \beta $) jest $ q \ne 0 $, a na mocy ($ \eta $) mamy $ q \ne 1 $ i $ q \ne - 1 $. Z drugiego równania układu (6) otrzymamy wówczas $ x_1 = \frac{m}{q} $, przy czym $ x_1 $ jest liczbą rzeczywistą i spełnia również pierwsze równanie układu (6), a na mocy ($ \beta $) jest $ x_1 \ne 0 $. Ponieważ układ (6) jest przy spełnieniu warunku (a) równoważny układowi równań (2), więc znalezione wartości $ x_1 $ i $ q $ spełniają układ (2), a wobec tego spełniają też równanie (1).

Warunek ($ \eta $) oznacza, że $ m $ jest zawarte między liczbami $ a $ i $ -\frac{a}{3} $; uwzględniając, że $ m^3 = - c $ możemy warunkom ($ \alpha $), ($ \beta $), ($ \eta $) nadać następującą ostateczną postać:

\[<br />
(W) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{c}<br />
b^3 = a^3 c,\\<br />
c \ne 0,\\<br />
c \textrm{ jest zawarte między } -a^3 \textrm{ i } \frac{a^3}{27}.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Układ warunków (W) stanowi rozwiązanie zadania. Układ ten spełniają na przykład liczby $ a = b = 4 $, $ c = 1 $; równanie

\[<br />
x^3 + 4x^2 + 4x + 1 = 0<br />
\]

ma pierwiastki

\[<br />
\frac{- 3 - \sqrt{5}}{2},\<br />
-1,\<br />
\frac{- 3 + \sqrt{5}}{2}<br />
\]

tworzące postęp geometryczny o ilorazie $ \frac{3 - \sqrt{5}}{2} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź