VI OM - III - Zadanie 3

W okrąg wpisano trójkąt równoboczny $ ABC $; dowieść, że jeżeli $ M $ jest dowolnym punktem okręgu, to jedna z odległości $ MA $, $ MB $, $ MC $ jest równa sumie dwóch pozostałych.

Rozwiązanie

Gdy punkt $ M $ znajduje się w jednym z wierzchołków trójkąta $ ABC $, twierdzenie jest oczywiste, gdyż wówczas jedna z odległości $ MA $, $ MB $, $ MC $ równa się zeru. Pozostaje do rozpatrzenia przypadek, gdy $ M $ leży wewnątrz jednego z łuków, na jakie punkty $ A $, $ B $, $ C $ dzielą okrąg, na przykład wewnątrz łuku $ BC $.

Natychmiastowy dowód twierdzenia uzyskujemy stosując twierdzenie Ptolemeusza do czworokąta $ ABMC $:

\[<br />
MA \cdot BC = MB \cdot AC + MC \cdot AB,<br />
\]

ponieważ $ BC = AC = AB $, więc z powyższej równości wynika, że

\[<br />
MA =MB + MC.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź