VI OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że

\[<br />
\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta \geq<br />
\sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha + \sin \beta - 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Nierówność

\[<br />
\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta \geq \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha + \sin \beta - 1<br />
\]

jest równoważna nierówności

\[<br />
\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \beta \geq - \sin \alpha \sin \beta + \sin \alpha + \sin \beta - 1<br />
\]

(od obu stron nierówności odjęliśmy $ 2 \sin \alpha \sin \beta $), czyli nierówności

\[<br />
(\sin \alpha - \sin \beta)^2 \geq (\sin \alpha - 1) (1 - \sin \beta),<br />
\]

ta zaś nierówność jest oczywiście prawdziwa, gdyż lewa jej strona jest $ \geq 0 $, a prawa jest $ \leq 0 $ (albowiem $ \sin \alpha - 1 \leq 0 $, a $ 1 - \sin \beta \geq 0 $).

Zauważmy, że w rozważanej nierówności znak $ \geq $ można zastąpić przez znak $ = $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \sin \alpha = \sin \beta = 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź