VI OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie dana jest prosta $ m $ oraz punkty $ A $ i $ B $ leżące po przeciwnych stronach prostej $ m $. Znaleźć na prostej $ m $ taki punkt $ M $, żeby różnica odległości tego punktu od punktów $ A $ i $ B $ była jak największa.

Rozwiązanie

Niech $ B' $ będzie punktem symetrycznym do punktu $ B $ względem prostej $ m $ (rys. 18). Jeżeli punkt $ P $ jest dowolnym punktem prostej $ m $, to

\[<br />
|AP -BP|= |AP - B'P| \leq AB'.<br />
\]

Różnica $ |AP - BP| $ osiąga zatem swą największą wartość, równą długości odcinka $ AB' $, gdy $ |AP - B'P| = AB $, tzn. gdy punkty $ A $, $ B' $, $ P $ leżą na jednej prostej. Jeśli prosta $ AB' $ nie jest równoległa do prostej $ m $, to szukany punkt $ M $ jest punktem przecięcia prostych $ AB' $ i $ m $. Prosta $ m $ jest wówczas dwusieczną kąta $ AMB $. Jeśli proste $ AB' $ i $ m $ są równoległe, tzn. jeśli punkty $ A $ i $ B $ są równo odlegle od prostej $ m $, wówczas zadanie nie ma rozwiązania.

Dowiedzione twierdzenie pozwala w prosty sposób uzasadnić ważną własność hiperboli. Niech $ A_1 $ i $ A_2 $ będą wierzchołkami, a $ F_1 $ i $ F_2 $ - ogniskami hiperboli (rys. 19). Hiperbola dzieli płaszczyznę na trzy obszary, które oznaczymy $ I $, $ II $, $ III $, jak na rys. 19.

Wiadomo, że jeżeli punkt $ P $ leży na hiperboli, to $ |F_1P + F_2P|  = A_1A_2 $, jeżeli $ P $ znajduje się w obszarze $ I $, to $ |F_1P - F_2P| < A_1A_2 $, jeśli zaś $ P $ leży w jednym z obszarów $ II $ lub $ III $, to $ |F_1P + F_2P| > A_1A_2 $.

Niech $ m $ będzie prostą styczną do hiperboli w punkcie $ M $, a $ P $ - dowolnym punktem prostej $ m $. Prosta $ m $ leży (poza punktem $ M $) w obszarze $ I $ zatem różnica $ |F_1P - F_2P| $ jest dla każdego punktu $ P $ różnego od $ M $ mniejsza niż $ A_1A_2 $, a w punkcie $ M $ osiąga swą największą wartość równą długości $ A_1A_2 $. Z dowiedzionego poprzednio twierdzenia wynika, że prosta $ m $ jest dwusieczną kąta $ F_1MF_2 $, tzn. zachodzi twierdzenie:

Styczna do hiperboli jest dwusieczną kąta utworzonego przez odcinki łączące punkt styczności z ogniskami hiperboli.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź