VI OM - III - Zadanie 6

Przez punkty $ A $ i $ B $ poprowadzono dwie proste skośne $ m $ i $ n $ prostopadłe do prostej $ AB $. Na prostej $ m $ obrano punkt $ C $ (różny od $ A $), a na prostej $ n $ punkt $ D $ (różny od $ B $). Mając dane długości odcinków $ AB = d $ i $ CD = l $ oraz kąt $ \varphi $, jaki tworzą proste skośne $ m $ i $ n $, obliczyć promień powierzchni kuli przechodzącej przez punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $.

Rozwiązanie

Rys. 20 przedstawia rozważaną figurę w rzucie prostokątnym na płaszczyznę wyznaczoną przez proste $ AB $ i $ n $, wobec czego na tym rysunku $ AB \bot n $. Dla uproszczenia oznaczamy rzuty punktów i prostych tymi samymi literami, co same punkty i proste. Poprowadźmy przez punkt $ A $ prostą $ p $ równoległą do prostej $ m $, a przez punkt $ C $ prostą równoległą do prostej $ AB $; przetnie ona prostą $ p $ w punkcie $ E $. Mech $ \sigma $ oznacza powierzchnię kuli czyli sferę przechodzącą przez punkty $ ABCD $; ponieważ punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ nie leżą w jednej płaszczyźnie (proste $ m $ i $ n $ są skośne), więc taka sfera istnieje i to tylko jedna. Czworokąt $ ABCE $ jest prostokątem, gdyż $ AB \bot m $, $ CE \bot m $ i $ AB \bot p $; ponieważ trzy wierzchołki $ A $, $ B $, $ C $ tego prostokąta leżą na sferze $ \sigma $, więc i czwarty wierzchołek $ E $ też leży na $ \sigma $. Sfera $ \sigma $ przecina płaszczyznę prostych $ n $ i $ p $ według okręgu przechodzącego przez punkty $ A $, $ D $, $ E $; środek $ S $ tego okręgu jest zatem środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ADE $; objaśnimy za chwilę, jak punkt $ S $ wyznaczony został konstrukcyjnie na rys. 20. Środek $ O $ sfery $ \sigma $ leży na prostej prostopadłej w punkcie $ S $ do płaszczyzny $ ADE $, a więc na równoległej do $ AB $ (gdyż $ AB \bot n $ i $ AB \bot p $). Z drugiej strony punkt $ O $ jako równo odległy od punktów $ A $ i $ B $ leży na płaszczyźnie symetralnej odcinka $ AB $ wobec czego jego odległość $ OS $ od płaszczyzny $ ADE $ jest równa $ \frac{1}{2} AB $. Punkt $ O $ znajdujemy zatem prowadząc przez punkt $ S $ równoległą do $ AB $ i odmierzając na niej $ SO = \frac{1}{2} d $ w kierunku od $ A $ do $ B $.

Weźmy pod uwagę trójkąt $ ASO $; kąt przy wierzchołku $ S $ jest prosty, przeciwprostokątna $ OA $ równa się szukanemu promieniowi $ r $ sfery $ \sigma $, $ OS = \frac{1}{2} d $, a $ SA $ równa się promieniowi okręgu opisanego na trójkącie $ ADE $, więc $ SA = \frac{DE}{2 \sin \measuredangle DAE} $. Lecz z trójkąta prostokątnego $ DEC $ ($ CE $ jest prostopadłe do płaszczyzny $ ADE $) $ DE^2 = DC^2 - EC^2 = l^2 - d^2 $, a kąt $ DAE $ równa się kątowi $ \varphi $ prostych skośnych $ m $ i $ n $, zatem $ SA = \frac{\sqrt{l^2 - d^2}}{2 \sin \varphi} $.

Ponieważ w trójkącie $ ASO $ jest $ OA^2 = SO^2 + SA^2 $ więc

\[<br />
r^2 = \frac{d^2}{4} + \frac{l^2 - d^2}{4 \sin \varphi} = \frac{l^2 - d^2 \cos^2 \varphi}{4 \sin^2 \varphi}<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
r = \frac{\sqrt{l^2 - d^2 \cos^2 \varphi}}{2 \sin \varphi}.<br />
\]

Konstrukcja punktu $ S $ zaznaczona jest na rys. 20 liniami kreskowanymi, przebiega ona jak następuje. Wykonujemy kład trójkąta $ ADE $ na płaszczyznę rysunku, tj. na płaszczyznę $ ABD $, tzn. obracamy płaszczyznę $ ADE $ dookoła prostej $ n $ tak, aby punkt $ E $ znalazł się w pewnym punkcie $ (E) $ płaszczyzny rysunku. Podczas takiego obrotu rzut prostokątny każdego punktu płaszczyzny $ ADE $ porusza się po prostej prostopadłej do $ n $. Punkt $ (E) $ znajdujemy w przecięciu prostopadłej opuszczonej z punktu $ E $ na prostą $ n $ i półprostej poprowadzonej z punktu $ A $ i tworzącej z półprostą $ AD $ kąt $ \varphi $ (w naturalnej wielkości).

Niech $ (S) $ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ AD(E) $ i niech prosta $ A(S) $ przecina prostą $ D(E) $ w punkcie $ (M) $. Prowadząc z punktu $ (M) $ prostopadłą do prostej $ n $ do przecięcia w punkcie $ M $ z prostą $ DE $, a następnie z punktu $ (S) $ prostopadłą do prostej $ n $ znajdziemy w przecięciu tej prostopadłej z prostą $ AM $ poszukiwany punkt $ S $.

Zauważmy jeszcze, że gdy punkty $ A $ i $ B $ oraz proste $ m $ i $ n $ są dane, to istnieje nieskończenie wiele odcinków $ CD $ o danej długości $ l $ i o końcach leżących na prostych $ m $ i $ n $. Istnieje więc też nieskończenie wiele sfer, przechodzących przez $ A $ i $ B $ i przecinających proste $ m $ i $ n $ jeszcze w takich punktach $ C $ i $ D $, że $ CD = l $. Wynik naszego zadania pokazuje, że promienie wszystkich tych sfer są równe.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź