V OM - I - Zadanie 2

Zbadać, kiedy suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $ 18 $.

Rozwiązanie

Niech $ a - 1 $, $ a $, $ a + 1 $, będą trzema kolejnymi liczbami naturalnymi; sumę ich sześcianów

\[<br />
S = (a - 1)^3 + a^3 + (a + 1)^3<br />
\]

możemy przekształcić w następujący sposób:

\[<br />
\begin{split}<br />
S & = a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + a^3 + a^3 + 3a^2 + 3a + 1 =<br />
3a^3 + 6a =\\<br />
& = 3a (a^2 + 2) = 3a (a^2 - 1 + 3) = 3a [(a + 1) \cdot (a - 1) + 3].<br />
\end{split}<br />
\]

Ponieważ jedna z liczb $ a - 1 $, $ a $, $ a + 1 $ jest podzielna przez $ 3 $, więc też jedna z liczb $ a $ i $ (a + 1) (a - 1) + 3 $ jest podzielna przez $ 3 $. Stąd wynika, że suma $ S $ sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielna przez $ 9 $.

Suma $ S $ jest zatem podzielna przez $ 18 = 9 \cdot 2 $ wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez $ 2 $. Ponieważ $ S = 3a^3 + 6a $, więc $ S $ jest parzyste wtedy i tylko wtedy, gdy $ a $ jest parzyste, tzn. gdy $ a - 1 $ jest nieparzyste. Stąd wniosek:

Suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $ 18 $ wtedy i tylko wtedy, gdy pierwsza z tych liczb jest nieparzysta.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź