V OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli w czworokącie $ ABCD $ zachodzi równość $ AB + CD = AD + BC $, to okręgi wpisane w trójkąty $ ABC $ i $ ACD $ są styczne.

Rozwiązanie

Jeżeli okręgi wpisane w trójkąty $ ABC $ i $ ACD $ stykają się z ich wspólnym bokiem $ AC $ odpowiednio w punktach $ M $ i $ N $ (rys. 20), to według znanych wzorów mamy

\[<br />
AM = \frac{1}{2} (AB + AC- BC),\<br />
AN = \frac{1}{2} (AD + AC - CD),<br />
\]

skąd

\[<br />
(1) \qquad   AM - AN = \frac{1}{2} [(AB + CD) - (AD + BC)].<br />
\]

Jeśli $ AB + CD = AD + BC $, to z powyższej równości wynika, że $ AM = AN $, tzn. że punkty $ M $ i $ N $ pokrywają się; oba okręgi są styczne do prostej $ AC $ w tym samym punkcie, więc okręgi te są do siebie styczne.

Uwaga. Z równości (1) wynika również twierdzenie odwrotne: jeśli okręgi wpisane w trójkąty $ ABC $ i $ ACD $ są styczne, to $ AM = AN $, zatem $ AB + CD = AD + BC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź