V OM - I - Zadanie 4

Wewnątrz danego trójkąta $ ABC $ znaleźć taki punkt $ O $, żeby pola trójkątów $ AOB $, $ BOC $, $ COA $ były w stosunku $ 1 \colon 2 \colon 3 $.

Rozwiązanie

Jeżeli pola trójkątów $ AOB $, $ BOC $, $ COA $ są w stosunku $ 1 \colon 2 \colon 3 $, to pola te stanowią odpowiednio $ \frac{1}{6} $, $ \frac{2}{6} $, $ \frac{3}{6} $ pola trójkąta $ ABC $. Żądany punkt $ O $ leży zatem na przecięciu równoległej do prostej $ AC $ poprowadzonej przez środek boku $ AB $ z równoległą do prostej $ BC $ odcinającą na boku $ AB $ jego trzecią część, licząc od punktu $ B $. Przez ten sam punkt przechodzi równoległa do boku $ AB $ odcinająca na boku $ AC $, licząc od wierzchołka $ A $, odcinek równy $ \frac{1}{6}AC $ (rys. 21). Zadanie ma zawsze rozwiązanie i tylko jedno.

Zadanie rozwiązuje się w ten sam sposób, jeśli zamiast stosunku $ 1 \colon 2 \colon 3 $ wziąć stosunek $ m \colon n \colon p $ dowolnych liczb naturalnych.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź