V OM - I - Zadanie 5

Rozwiązać układ równań

\[<br />
(1) \qquad<br />
x + y + z + t = 10,\<br />
xy + zt = 14,\<br />
xz + yt = 11,\<br />
xyzt = 24.<br />
\]

Rozwiązanie

Dodajemy drugie i trzecie równanie układu (1); otrzymujemy $ xy + zt + xz + yt = 25 $ lub $ (x + t) (y + z) = 25 $; biorąc to równanie zamiast trzeciego równania układu (1) otrzymujemy równoważny układ równań

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x + y + z + t = 10,\\<br />
(x + t)(y + z) = 25,\\<br />
xy + zt = 14,\\<br />
xyzt = 24.<br />
\end{array}<br />
\]

W pierwszych dwóch równaniach układu (2) możemy potraktować jako niewiadome $ x + t $ i $ y + z $; mając daną sumę $ 10 $ i iloczyn $ 25 $ tych niewiadomych znajdujemy łatwo $ x + t = 5 $, $ y + z = 5 $.

Podobnie dwa ostatnie równania układu (2) możemy potraktować jako układ równań z niewiadomymi $ xy $ i $ zt $; otrzymamy stąd $ xy = 12 $, $ zt = 2 $, lub $ xy = 2 $, $ zt = 12 $.

Układ równań (2) jest zatem równoważny alternatywie:

\[<br />
(3a )\qquad<br />
\begin{array}{l}<br />
x + t = 5,\\<br />
y + z = 5,\\<br />
xy = 12,\\<br />
zt =  2<br />
\end{array}<br />
\textrm{ lub }<br />
\nr{3b}<br />
\begin{array}{l}<br />
x + t = 5,\\<br />
y + z = 5,\\<br />
xy = 2,\\<br />
zt= 12.<br />
\end{array}<br />
\]

Zamiast pierwszych dwóch równań układu (3a) możemy napisać $ t = 5 - x $, $ z = 5 - y $; podstawiając te wyrażenia w ostatnie równanie otrzymujemy $ (5 - x) (5 - y) = 2 $, a stąd, po uwzględnieniu trzeciego równania, $ x + y = 7 $. Podobnie w układzie (3b), ostatnie równanie można zastąpić równaniem $ x + y = 3 $. Dany układ równań jest więc równoważny alternatywie

\[<br />
(4a )\qquad<br />
\begin{array}{l}<br />
x + y = 7,\\<br />
xy = 12,\\<br />
z = 5 - y,\\<br />
t = 5 - x<br />
\end{array}<br />
\textrm{ lub }<br />
\nr{4b}<br />
\begin{array}{l}<br />
x + y = 3,\\<br />
xy = 2,\\<br />
z = 5 - y,\\<br />
t = 5 - x.<br />
\end{array}<br />
\]

Z pierwszych dwóch równań układu (4a) otrzymujemy $ x = 3 $, $ y = 4 $, lub $ x = 4 $, $ y = 3 $, a z pierwszych dwóch równań układu (4b) mamy $ x = 1 $, $ y = 2 $ lub $ x = 2 $, $ y = 1 $.

Dwa ostatnie równania każdego z układów (4a) i (4b) dają odpowiednie wartości $ z $ i $ t $. Dany układ równań ma zatem cztery rozwiązania; są nimi układy liczb

\[<br />
(3,4,1,2),\   (4,3,2,1),\   (1,2,3,4),\ (2,1,4,3),<br />
\]

w których liczby stojące na miejscu pierwszym, drugim, trzecim i czwartym oznaczają odpowiednio wartości $ x $, $ y $, $ z $, $ t $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź