V OM - I - Zadanie 6

Rozłożyć na czynniki wyrażenie

\[<br />
W = x^4 (y - z) + y^4 (z - x) + z^4 (x - y).<br />
\]

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że wyrażenie $ W $ dopuszcza podstawienie cykliczne, tzn. nie ulega zmianie, gdy jednocześnie zastąpimy w nim $ x $ przez $ y $, $ y $ przez $ z $ i $ z $ przez $ x $.

Jeżeli w wyrażeniu $ W $, które jest wielomianem stopnia czwartego względem $ x $, podstawimy $ x = y $, otrzymamy $ W = 0 $; wielomian $ W $ jest więc podzielny przez $ x - y $, a wobec tego, że wyrażenie $ W $ dopuszcza podstawienie cykliczne, jest ono też podzielne przez $ y - z $ i przez $ z - x $, zatem przez $ (x - y) (y - z) (z - x) $. Z uwagi na to, że $ W $ jest wielomianem jednorodnym stopnia piątego względem $ x $, $ y $ i $ z $, a $ (x - y) (y - z) (z - x) $ jest wielomianem jednorodnym stopnia trzeciego względem tych zmiennych, iloraz tych wielomianów musi być wielomianem jednorodnym stopnia drugiego względem $ x $, $ y $, $ z $ i $ W $ ma postać

\[<br />
W = (x - y) (y - z) (z - x) (ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + eyz + fzx).<br />
\]

Ponieważ zarówno $ W $ jak $ (x - y) (y - z) (z - x) $ dopuszczają podstawienie cykliczne, więc tę samą własność musi mieć ich iloraz, zatem $ a = b = c $, $ d = e = f $, czyli

\[<br />
W = (x - y)(y - z)(z - x) [a (x^2 + y^2 + z^2) + d (xy + yz + zx)].<br />
\]

Dla wyznaczenia współczynników $ a $ i $ d $ wystarczy obliczyć wartości obu stron powyższej równości po podstawieniu zamiast $ x $, $ y $ i $ z $ dowolnych, lecz różnych wartości liczbowych. Podstawiając np. $ x = 0 $, $ y = 1 $, $ z = - 1 $ otrzymujemy $ - 2 = 2 (2a-d) $, czyli $ 2a - d = - 1 $, podstawiając zaś $ x = 0 $, $ y =-1 $, $ z = 2 $ otrzymujemy $ - 14 = 2 (5a + 2d) $, czyli $ 5a + 2d = - 7 $; z tych związków znajdujemy $ a = - 1 $, $ d = - 1 $. Zatem

\[<br />
W = (x - y) (y - z) (x - z) (x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź