V OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie dana jest prosta $ p $ oraz punkty $ A $ i $ B $. Znaleźć na prostej $ p $ taki punkt $ M $, żeby suma kwadratów $ AM^2 + BM^2 $ była jak najmniejsza.

Rozwiązanie

Miejscem geometrycznym takich punktów $ X $ płaszczyzny, dla których $ AX^2 + BX^2 $ ma daną wartość $ 2k^2 $, jest pewien okrąg, którego środek leży w środku $ S $ odcinka $ AB $; promień tego okręgu jest tym większy, im większe jest $ k $.

Najmniejszym okręgiem o środku $ S $, który ma punkt wspólny z prostą $ p $, jest okrąg styczny do prostej $ p $; punktem styczności jest rzut $ M $ punktu $ S $ na prostą $ p $. Punkt $ M $ jest punktem poszukiwanym; zadanie ma zawsze rozwiązanie i tylko jedno.

Uwaga. Twierdzenie o miejscu geometrycznym, na które powołaliśmy się w powyższym rozwiązaniu, można udowodnić, jak następuje. Niech $ AB = c $ i niech $ X $ będzie dowolnym punktem płaszczyzny (rys. 22). Wówczas

\[<br />
SX^2 = \frac{1}{2} AX^2 + \frac{1}{2} BX^2 - \frac{1}{4} c^2<br />
\]

Gdy $ X $ leży poza prostą $ AB $, równość ta jest znanym wzorem na kwadrat środkowej trójkąta (patrz zadanie 2). Gdy $ X $ leży na prostej $ AB $, sprawdzenie równości jest łatwe i pozostawiamy je czytelnikowi.

Z równości tej wynika: 1°) jeśli $ AX^2 + BX^2 $ ma daną wartość $ 2k^2 $, to punkt $ X $ leży na okręgu o środku $ S $ i promieniu $ \sqrt{k^2 - \frac{1}{4} c^2} $; musi być zatem $ k \geq \frac{1}{2} c $, przy czym gdy $ k = \frac{1}{2} c $, okrąg redukuje się do punktu $ S $; 2°) jeśli punkt $ X $ leży na takim okręgu, tj. jeśli $ SX = \sqrt{k^2 - \frac{1}{4} c^2} $, to $ AX^2 + BX^2 = 2k^2 $, cnd.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź