V OM - I - Zadanie 8

Dane są odległości wzajemne czterech punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ w przestrzeni. Obliczyć długość odcinka łączącego środek odcinka $ AB $ ze środkiem odcinka $ CD $.

Rozwiązanie

Załóżmy, że punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ nie leżą na jednej płaszczyźnie. Środki $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ odcinków $ AB $, $ BC $, $ AC $, $ AD $, $ BD $, $ CD $ (rys 24) są wówczas różnymi od siebie punktami. Na mocy twierdzenia o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta mamy $ MR \parallel AD \parallel PS $ i $ MR = PS = \frac{1}{2} AD $; podobnie $ MP \parallel BC \parallel RS $ i $ MP = RS =\frac{1}{2} BC $. Czworokąt $ MPSR $ jest równoległobokiem; według twierdzenia o sumie kwadratów przekątnych równoległoboku piszemy

\[<br />
MS^2 + PR^2 = MR^2 + PS^2 + MP^2 + RS^2 = \frac{1}{2} AD^2 + \frac{1}{2} BC^2.<br />
\]

Analogicznie

\[<br />
PR^2 + NQ^2 = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2} CD^2,<br />
\]
\[<br />
NQ^2 + MS^2 = \frac{1}{2} AC^2 + \frac{1}{2} BD^2.<br />
\]

Z powyższych trzech równań łatwo obliczyć długości $ MS $, $ PR $, $ NQ $. Otrzymujemy np.

\[<br />
(1) \qquad   MS^2 = \frac{1}{4} (AC^2 + AD^2 + BC^2 + BD^2 - AB^2 - CD^2).<br />
\]

Jest to żądany wzór wyrażający odległość środków odcinków $ AB $ i $ CD $ w zależności od wzajemnych odległości punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $.

Powyższe rozumowanie stosuje się bez zmian do przypadku, gdy punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą na jednej płaszczyźnie, ale żadne trzy z nich nie leżą na jednej prostej, a przy tym punkty $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ są od siebie różne.

Nie trudno się przekonać, że wzór (1) jest ogólny, tzn. jest prawdziwy, jakiekolwiek byłoby położenie punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Niektóre z tych punktów lub wszystkie mogłyby się nawet pokrywać. Proponujemy czytelnikowi, żeby modyfikując w odpowiedni sposób powyższy dowód wykazał słuszność wzoru (1) w następujących przypadkach wyczerpujących wraz z przypadkami już rozpatrzonymi wszystkie możliwości.

a) Trzy spośród punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą na jednej prostej, czwarty zaś poza tą prostą;

b) punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ leżą na jednej prostej;

c) żadne trzy spośród punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ nie leżą na jednej prostej, ale punkty $ M $ i $ S $ lub punkty $ N $ i $ Q $ lub punkty $ P $ i $ R $ pokrywają się.

Można by jednak dowieść ogólności wzoru (1) na innej drodze, traktując mianowicie możliwości a), b), c) jako przypadki graniczne przypadku zasadniczego, w którym punkty $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ nie leżą na jednej płaszczyźnie. Objaśnimy to dla przypadku a). Przypuśćmy, że $ A $, $ B $, $ C $ są trzema różnymi punktami prostej $ p $, a punkt $ D $ znajduje się poza prostą $ p $. Niech $ M $ będzie środkiem odcinka $ AB $, a $ S $ środkiem odcinka $ CD $.

Obierzmy punkt $ A' $ w pobliżu punktu $ A $ poza płaszczyzną punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Niech $ M' $ oznacza środek odcinka $ A'B $. Ponieważ punkty $ A' $, $ B $, $ C $, $ D $ nie leżą w jednej płaszczyźnie, więc jak dowiedliśmy poprzednio

\[<br />
(1a )\qquad  M'S^2 = \frac{1}{4} (A'C^2 + A'D^2 + BC^2 + BD^2 - A'B^2 - CD^2).<br />
\]

Niech punkt $ A' $ zbliża się nieograniczenie (inaczej: dąży) do punktu $ A $ np. po prostej $ A'A $. Wówczas punkt $ M' $ dąży do punktu $ M $, a długości $ M'S $, $ A'C $, $ A'D $, $ A'B $ dążą do długości $ MS $, $ AC $, $ AD $, $ AB $ i ze wzoru (1a) otrzymujemy wzór (1) przechodząc, jak się mówi w matematyce, do granicy. Rozumowanie powyższe opiera się na początkowych wiadomościach z tzw. teorii granic, które można znaleźć w pierwszych rozdziałach każdego podręcznika analizy matematycznej (Patrz np. F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, wydanie III, Warszawa 1954, rozdział II.)

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź