V OM - I - Zadanie 9

Punkty $ A, B, C, D, \ldots $ są kolejnymi wierzchołkami pewnego wielokąta foremnego, przy czym zachodzi związek

\[<br />
\frac{1}{AB} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}.<br />
\]

Ile boków ma ten wielokąt?

Rozwiązanie

\spos{1} Niech $ r $ oznacza promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym $ ABCD\ldots $, a $ 2x $ - kąt środkowy (wypukły) tego okręgu odpowiadający cięciwie $ AB $. Wówczas (rys. 25)

\[<br />
AB = 2r \sin x,\ AC = 2r \sin 2x,\ AD = 2r \sin 3x.<br />
\]

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad<br />
\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\sin 2x} + \frac{1}{\sin 3x}.<br />
\]

W celu rozwiązania równania (2) mnożymy je przez iloczyn $ \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x $ i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę.

\[<br />
(3) \qquad \sin 2x \sin 3x - \sin x \sin 3x - \sin x \sin 2x = 0.<br />
\]

Przekształcimy równanie (3) zmierzając do tego, żeby lewą stronę przedstawić w postaci iloczynu. Otrzymujemy kolejno:

\[ \sin 2x (\sin 3x - \sin x) - \sin x \sin 3x = 0, \]
\[ \sin 2x \cdot 2 \sin x \cos 2x - \sin x \sin 3x = 0,\]
\[ \sin x \sin 4x - \sin x \sin 3x = 0,\]
\[ \sin x (\sin 4x - \sin 3x) = 0 \]

i ostatecznie

\[<br />
(4) \qquad \sin x \sin \frac{x}{2} \cos \frac{7x}{2} = 0.<br />
\]

Równania (3) i (4) są sobie równoważne, lecz nie są one równoważne równaniu (2), gdyż tylko te ich rozwiązania spełniają równanie (2), dla których $ \sin x \sin 2x \sin 3x \ne 0 $, tj. $ x \ne \frac{k\pi}{2} $ i $ x \ne \frac{k\pi}{3} $, gdzie $ k $ jest dowolną liczbą całkowitą. Stąd wynika, że pierwiastki równania (2) spełniają równanie

\[<br />
\cos \frac{7x}{2} = 0,<br />
\]

którego rozwiązanie daje wzór

\[<br />
(5) \qquad x = \frac{\pi}{7} + \frac{2n\pi}{7} \ (n = \textrm{ liczba całkowita})<br />
\]

Pierwiastkami równania (2) są te spośród liczb (5), które spełniają warunek $ x \ne \frac{k\pi}{2} $ i $ x \ne \frac{k\pi}{3} $. Czytelnik zechce sprawdzić, że warunek ten oznacza, iż we wzorze (5) liczba całkowita $ n $ nie jest dowolna, lecz ma czynić zadość nierówności $ n \ne \frac{7k-2}{4} $ i $ n \ne \frac{7k-3}{6} $, gdzie $ k $ jest dowolną liczbą całkowitą.

Ponieważ z treści zadania wynika, że $ 0 < x \leq \frac{\pi}{4} $, więc we wzorze (5) trzeba wziąć $ n = 0 $, i zadanie ma jedyne rozwiązanie

\[<br />
x = \frac{\pi}{7},<br />
\]

co oznacza, że wielokąt foremny $ ABCD \ldots $ jest siedmiokątem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź